二分查詢的區間到底是開還是閉？

二分查詢的區間到底是開還是閉？

在這兩個月的時間裡，我似乎沒有產出任何的有關知識點的文章，大多數都是題解相關的內容。以至於許多人覺得 Macw07 “失蹤”了。本文是我來到北美之後的第一篇知識點文章，請大家多多關照。

這次不講難的知識點了，講一個大家都熟悉的，但又非常令人抓毛的演算法：二分查詢和二分答案演算法。

引言 Introduction

注意：本文僅針對瞭解過二分查詢基本演算法原理的使用者群體，若您從未接觸過或瞭解過該演算法，請先學習基礎的二分查詢演算法。

二分查詢演算法是大家一個再熟悉不過的演算法了，二分查詢演算法可以在一個 有序數列 中高效地查詢某個或多個特定的目標值。一般來說，二分查詢的時間複雜度在 \(O(\log_2 N))\) 級別。二分演算法非常適合在大資料集上實現快速查詢。與此同時，除了基本的二分查詢演算法，它的許多變種也被廣泛應用於各種場景，比如求最大值、最小值，甚至在複雜的資料結構中最佳化資料的查詢效能。

許多同學肯定在學習完基本的二分查詢後一直有一個疑問：我到底該如何設定 \(L\) 和 \(R\) 的區間閉合狀態？什麼時候需要輸出 \(L\) 或 \(R\)，為什麼有時候還需要 \(+1\)？\(\text{Mid}\) 到底儲存的是什麼東西？etc.

事實上，區間開閉的變數定義 確實是一個核心且容易混淆的問題，在 CSP 考試中也常考此知識點，因此本文將重點圍繞區間開閉的變數定義來展開。

二分查詢的基本原理 Basic Principles of Binary Search

在深入討論區間開閉之前，有必要回顧一下二分查詢的基本原理。二分查詢透過反覆將搜尋區間分成兩半，逐步縮小目標值所在的範圍，直到找到目標值或確定其不存在。具體步驟如下：

1. 初始化：設定搜尋區間的左右邊界 \(L\) 和 \(R\)。

2. 計算中點：計算中點 \(M = L + \dfrac{R - L}{2}\)。

3. 比較

   ：將目標值與中點元素進行比較。

   • 若相等，返回中點位置。
   • 若目標值小於中點元素，縮小搜尋區間至左半部分。
   • 若目標值大於中點元素，縮小搜尋區間至右半部分。

4. 重複：重複上述步驟，直到找到目標值或搜尋區間為空。

開區間/閉區間 Open Interval/Closed Interval

在文章開始，先了解一下區間的開閉性。

開區間

定義：開區間表示區間的端點 不包含在區間內，用小括號 \(()\) 表示。

示例：\((2, 5)\) 表示所有介於 \(2\) 和 \(5\) 之間的數，但不包含數字 \(2\) 和 \(5\)。

閉區間

定義：開區間表示區間的端點 包含在區間內，用方括號 \([]\) 表示。

示例：\([2, 5]\) 表示所有介於 \(2\) 和 \(5\) 之間的數，而且包含數字 \(2\) 和 \(5\)。

半開區間/半閉區間

定義：半開區間或半閉區間表示區間的一個端點包含在內，另一個端點不包含在內。

示例：\((2, 5]\) 表示所有介於 \(2\) 和 \(5\) 之間的數，且包含數字 \(5\)，但不包含數字 \(2\)。

區間型別	表示方式	是否包含左端點 \(a\)	是否包含右端點 \(b\)
開區間	\((a, b)\)	否	否
閉區間	\([a, b]\)	是	是
左開右閉	\((a, b]\)	否	是
左閉右開	\([a, b)\)	是	否

區間開閉的型別 Interval Categories

在實現二分查詢的時候，區間的定義是最常見的一個問題，你可能會看到過以下不同的區間開閉性的定義：

1. 左開右開 \((\text{left}, \text{right})\)
2. 左閉右閉 \([\text{left}, \text{right}]\)
3. 左開右閉 \((\text{left}, \text{right}]\)
4. 左閉右開 \([\text{left}, \text{right})\)

通常來說，我們一般會選擇【左閉右開】或者【左閉右閉】的區間定義，所以本文也就著重圍繞這兩個部分講解。但對於不同的定義區間，如果稍有不慎，就容易使程式碼進入 死迴圈。

左閉右閉區間

定義：搜尋區間包括 left 和 right，即 left 和 right 都可能是目標值。

退出條件：left > right，表示搜尋區間為空。

左閉右閉區間的二分查詢的常見寫法如下：

while (left <= right) { // 注意是 <=
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        return mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1; // [mid+1, right]
    } else {
        right = mid - 1; // [left, mid-1]
    }
}

左閉右開區間

定義：搜尋區間包括 left 但不包括 right，即目標值可能是 left，但不可能是 right。

退出條件：當 left == right 時，表示搜尋區間為空。

左閉右開區間的二分查詢的常見寫法如下：

while (left < right) { // 注意是 <
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        return mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1; // [mid+1, right)
    } else {
        right = mid; // [left, mid)
    }
}

兩種區間的迭代過程中的差異 Differences During Iterating

left 的更新：

• 左閉右閉：left = mid + 1，因為 mid 已經被檢查過了，mid+1 開始的新區間仍是閉區間。
• 左閉右開：left = mid + 1，保持 right 的開區間性質。

right 的更新：

• 左閉右閉：right = mid - 1，因為 mid 已經被檢查過了，mid-1 保證了閉區間不重複。
• 左閉右開：right = mid，將 mid 排除，保證開區間不包含 right。

退出條件：

• 左閉右閉：迴圈結束條件為 left > right。
• 左閉右開：迴圈結束條件為 left == right。

兩種區間的優缺點 Pros & Cons

左閉右閉的有點

1. 直觀易懂：包括 left 和 right 的寫法更加接近自然語言的描述，例如 “在 \([left, right]\) 區間查詢目標值”。
2. 處理小區間：對於某些需要特別處理的小區間問題，左閉右閉可以更容易描述邏輯。

左開右閉的優點

避免陣列越界：使用左閉右開區間，right 永遠是無效位置，不會直接訪問陣列越界的索引。

邏輯一致性：左閉右開區間的範圍在迭代過程中可以穩定保持邏輯清晰，容易與數學符號對應。

程式碼簡潔：由於退出條件是 left == right，很多情況下可以直接用 left 返回結果，無需做出額外檢查。

實際應用中的選擇 Choosing the Right Interval in Practice

在實際應用中，選擇使用左閉右閉還是左閉右開區間，往往取決於具體問題的需求和個人習慣。以下是一些指導原則：

1. 陣列索引：在處理陣列索引時，左閉右開區間更加自然，因為陣列的索引從 0 到 n-1，左閉右開可以避免 n 的無效訪問。
2. 範圍劃分：當需要頻繁劃分範圍時，左閉右開區間的邏輯更清晰，減少了混淆和錯誤。
3. 邊界條件：如果問題中涉及到明確的邊界條件，如查詢第一個或最後一個滿足條件的元素，選擇合適的區間型別可以簡化邏輯。

典型例題分析 Exemplars

1. 在陣列中查詢目標值，返回索引

左閉右閉實現：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

左閉右開實現：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid;
        }
    }
    return -1;
}

2. 在有序陣列中找到目標值的插入位置

綜上所述，左閉右開更適合這一場景，因為它的區間邏輯更加貼合“邊界”問題：

int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid;
        }
    }
    return left; // 返回插入位置
}

複雜度分析 Complexity Analysis

二分查詢的時間複雜度為 \(O(\log_2 N)\)，空間複雜度為 \(O(1)\)。這種高效性使得二分查詢在處理大規模資料時表現出色。然而，二分查詢的前提條件是資料必須是有序的，這在某些情況下可能需要額外的排序時間。

相關題目 Practice Problems

可以在閱讀本文後自己實踐一下以下題目：

1. 查詢最接近的元素 在一個升序序列中，查詢與給定值最接近的元素。
2. 二分法求函式的零點 已知函式在某區間內有且只有一個根，使用二分法求出該根。
3. 查詢 x 給定一個升序序列（元素均不重複），在該序列中查詢指定的值，若存在則輸出對應的下標，否則輸出 \(-1\)。
4. 二分查詢 在 \(N\) 個從小到大排列且不重複的整數中，快速找到指定的數字 \(t\)，若找不到則輸出 \(-1\)。