[學習筆記 #5] 雜湊

huangkxQwQ發表於2024-11-22
筆記

目錄
  • [學習筆記 #5] 雜湊
    • 前言
    • 雜湊表
    • 過渡：用雜湊解決判定性問題
    • 不知道歸到哪裡去的技巧
    • 集合雜湊
      • Sum Hashing
      • Xor Hashing
    • 序列雜湊
    • 樹雜湊
    • 資料結構維護雜湊值
    • 參考

[學習筆記 #5] 雜湊

下面 [ ] 起來的是我還不確定的。

前言

從今年暑假到現在（2024.11.13），考了多少道雜湊，我一道都沒場切。前年 CSP-S T3 星戰沒想出雜湊做法，去年 CSP-S T2 又沒想出雜湊做法。滿滿的黑歷史……

早就想總結了，沒時間。今天忍不住了。

雜湊表

  • 雜湊表和下面說的雜湊應該不是一回事。
  • 概括：縮小範圍。可以用來儲存雜湊值。
  • 具體實現：
    • 當集合 \(A\) 較大時，用一個函式 \(f : A \rightarrow B\) 把 \(A\) [對映] 到一個較小的集合 \(B\)。
    • 查詢時給出 \(B\) 中的元素，對應回 \(A\) 中的元素。
    • 但是 \(B\) 中的一個元素可能對應 \(A\) 中的多個元素，即雜湊衝突（或稱雜湊碰撞）。
      • 兩種解決方法：
        1. 讓 \(B\) 中的每個元素掛一串（\(A\) 中的）元素。查詢時遍歷這一串。
        2. 讓 \(B\) 中的每個元素只對應一個（\(A\) 中的）元素。那麼每新增一個（\(A\) 中的）元素時，如果對應的（\(B\) 中）元素沒有對應元素，就對應上，否則接著找，直到找到一個還沒對應的，對應上。
  • 實際使用：
    • 可以用 map 或 unordered_map。map 帶 \(\log\)，但 unordered_map [[可能會被卡]]。
    • 可以用 pb_ds 裡的雜湊表。

過渡：用雜湊解決判定性問題

  • 接下來的雜湊用於解決 判定性問題。
  • 採用雜湊的原因：常規方式難以判定。
  • 方法：
    • 我們找 充分條件或必要條件（不是充要條件） 來判定，使用雜湊來簡化問題。
    • 透過隨機和多次判定來降低錯誤機率。
    • 可以從原命題或 [[原命題的否定]] 兩方面考慮。
    • 要 判斷是否是某種情況，就要先選擇雜湊的方式（要有針對性），再得到這樣雜湊的話這種情況的值是多少或是什麼情況，最後判斷真實的雜湊值是否滿足條件。

不知道歸到哪裡去的技巧

  • 四次方（[可能] 要取模）。[使雜湊值更離散。]
  • 雙雜湊。
  • 多次雜湊。

集合雜湊

  • 透過運算的交換律來 [表現] 集合的 [無序性]。

  • 可以轉化為序列雜湊：

    • 方法一：

      • 對集合中每個值，記錄它的出現次數，記到一個序列（桶）上（給值固定了順序）。
        • 可重集：就是這樣。
        • 不是可重集：出現次數是 \(0\) 或 \(1\)。
      • 對這個序列跑序列雜湊。

    • 方法二：

      • 對集合排序（規定某種順序，不一定從小到大），跑序列雜湊。

Sum Hashing

  • 雜湊值表示整個集合。
  • \(h(S) = \sum _ { x \in S } h' ( x )\)。
    • \(h'\)：對每個 \(x\) 賦一個隨機值（相同的 \(x\) 賦的值相同）。
  • 一個性質——判斷集合中每個數的出現次數是否都是 \(k\) 的倍數（出現次數為 \(0\) 也可以）：
    • 求和有對取模很友好的性質：如果一個數值的出現次數 \(\bmod k = 0\)，那麼它的雜湊值加起來 \(\bmod k\) 也為 \(0\)。如果每個數值的雜湊值之和 \(\bmod k = 0\)，那麼整個集合的雜湊值（每個數的雜湊值加起來，即每個數值的雜湊值之和加起來）就也 \(\bmod k = 0\)。因此原命題能推出 Sum Hashing 的值 \(\bmod k = 0\)，那麼後者就是前者的必要條件。
    • 看 Sum Hashing 的值 \(\bmod k\) 是否為 \(0\)。
      • 如果不為 \(0\) 則說明集合中 每個數的出現次數都是 \(k\) 的倍數 一定不成立。
      • 如果為 \(0\) 則說明 ~ 可能成立。
      • [蒙特卡羅判定]。
    • 隨機較多遍之後錯誤率就小到可以接受了。
    • 題、錯誤率分析見：CF1746F Kazaee。

Xor Hashing

  • 二進位制 Xor Hashing [較常見]。
  • \(k\) 進位制 Xor Hashing。
    • 每一位分別相加，不進位，分別對 \(k\) 取模。
  • 雜湊值 一般 不表示整個集合，只表示每個元素出現次數 \(\bmod k\) 是否為 \(0\)。
    • 如果集合中每個元素的出現次數都 \(\leq k\)，Xor Hashing 表示的就是整個集合。
  • 本質：
    • 把很多遍 取模的 Sum Hashing（就是上面寫的 Sum Hashing 的“一個性質”部分）壓到一起跑。因為每一位是獨立的，每一位都相當於一次取模的 Sum Hashing。
  • 錯誤率：
    • 二進位制 Xor Hashing 的話，在 [[int 或 long long]] 範圍內隨機，[一般] 這樣跑一遍的錯誤率就剛好小到可以接受了。
  • 相比 Sum Hashing 的優勢：
    • （二進位制 Xor Hashing）二進位制壓縮，去掉了跑很多遍帶的大概一隻 \(\log\)。
    • 異或性質優美，有時有妙用。（下面是二進位制的，[更高的] 進位制我不知道）
      • 重複直接消掉：
        • 樹上簡單路徑的異或和：直接算到根的異或和，異或起來即可。
      • [異或線性基]。（我還不清楚正確率）（咕咕咕）

序列雜湊

  • 把下標加入計算中，從而 [表現] [有序性]。
  • 字串雜湊。（多項式雜湊。）
  • 作用：判定相等。
  • 可以預處理 Base 的冪來 \(O(1)\) 取出一段的雜湊值。
  • 雙雜湊。

樹雜湊

還不會嗚嗚嗚。

資料結構維護雜湊值

  • 雜湊表。
  • 其他資料結構。

咕咕咕。

以後來放題。

參考

  • 雜湊：從入門到入土 - 題單 - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn)
  • 雜湊（雜湊，Hash）入門 - 題單 - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn)

2024.11.13

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