11.20 CW 模擬賽 T3.貨物分組

Yorg發表於2024-11-21

演算法

考慮 $\rm{dp}$

令 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 個數中, 分成 $m$ 組的最小花費
關於轉移, 我們有

\[f_{i, j} = \min(f_{k, j - 1} + j \times \rm{Sum}(k + 1, i) + \max(k + 1, i) - \min(k + 1, i)) \]

其中 $\rm{Sum}$ 可以字首和預處理, $\max, \min$ 可以 $\rm{ST}$ 表預處理

這樣轉移是 $\mathcal{O} (n ^ 3)$ 的, 考慮最佳化

這裡是一個 $\rm{trick}$ , 即費用提前計算, 題面中花費 $i \times w_{sum}$ 轉化成每一次的花費都是 $ \rm{Sum}(i + 1, n)$

將 $\rm{dp}$ 柿子轉化成 $dp_i = \min \left[dp_j + Sum(j + 1, n) + \max(j + 1, i) - \min(j + 1, i))\right]$

複雜度 $\mathcal{O}(n ^ 2)$ , 考慮最佳化轉移

對於 $Sum(j + 1, n)$ 是定值, 我們考慮將其提出

方程轉化成 $dp_i = Sum(j + 1, n) + \min \left[dp_j + \max(j + 1, i) - \min(j + 1, i))\right]$

我們必須要最佳化轉移

考慮令 $g_j = dp_j + \max(j + 1, i) - \min(j + 1, i))$ , 維護 $g_j$ 最小值

~~這是可以維護的嗎?~~

考慮線段樹維護 $g$ ,

對於每一次更新 $dp_i$

我們可以在單調棧中找到區間最大值小於 $a_i$ 最小的 $j$ , 顯然的, $j \sim i$ 這一段中, 區間最大值都需要更新
區間最小值同理

於是我們只需要維護區間最值 and 區間加法

費用提前計算是一個巧妙的 $\rm{trick}$

注意 $\rm{dp}$ 不能僅僅簡單的省略掉一維, 很有可能會導致正確性出現問題, 這個多練練應該可以解決

對於神秘轉移式子, 考慮多來幾種資料結構維護