演算法

考慮 $\rm{dp}$

~~其實誰都知道是 $\rm{dp}$ , 但是推不出來啊~~

這個問題的關鍵點在於注意到每次往回走, 必定需要走到之前只訪問過一次的位置, 這樣演算法才有正確性

容易的, 令 $f_i$ 表示遊覽結束前 $i$ 個點的最小時間花費, 由上面的結論可知, 對於 $f_i$ 往回走的更新, 一定可以用 $f_j, j < i$ 來表示, 因為是最小的花費, 顯然 $f_i$ 時刻在 $i$ 點的位置

考慮轉移
注意到僅僅有這樣的情況:
先往前走到 $i$ ( 再往後走是無意義的, 一定不優 ) , 然後在回頭走, 最後再繞回 $i$
這樣有一個問題在於有可能繞回來的過程中依然沒有到達時間限制 $T$ , 於是必須要等到 $T$ , 此時路過的點一定能夠全部訪問

在這裡我有一個誤區, 就是同時考慮了往前走在走回來這一情況, 事實上考慮一種即可覆蓋

有轉移柿子

\[f_i = \min_{j = 1}^{i - 1} \left\{ f_j + a_i - a_j + \max \left[ 2 \times (a_i - a_{j + 1}), T) \right] \right\} \]

顯然的, 有 $f_1 = \max(a_1, T)$ , 答案即為 $f_n$

但是這樣做是 $\mathcal{O} (n ^ 2)$ 的, 我們考慮最佳化

資料結構最佳化

不太顯然的, 將轉移柿子中的 $a_i - a_j$ 提出

有,

\[f_i = a_n + \min_{j = 1}^{i - 1} \left\{ f_j + \max \left[ 2 \times (a_i - a_{j + 1}), T) \right] \right\} \]

直接丟進堆裡維護即可, 複雜度 $\mathcal{O} (n \log n)$

利用單調性最佳化

需要一些注意力, 我們觀察到 $i$ 一定時, $2 \times (a_i - a_{j + 1})$ 和 $f_j$ 是單調遞減的, 同時, 注意到當 $i$ 增加時, 在之前 $2 \times (a_i - a_{j + 1}) > T$ , 對於更大的 $i ^ {\prime}$ 顯然也有 $2 \times (a_{i ^ {\prime}} - a_{j + 1}) > T$

那麼我們就可以想到一種做法, 對於每一次更新 $a_i$ , 我們就在單調佇列中把所有滿足 $2 \times (a_i - a_{j + 1}) > T$ 的 $j + 1$ 彈出, 其中單調佇列按照 $a_i$ 從小到大排序

彈出點的時候, 記錄其最大值 $k$ , 然後對於佇列中的點, 有
$ f_i = a_n + f_j + T $ , 對於彈出的點, 有 $f_i = a_n + f_j + 2 \times (a_i - k)$

每個點進隊出隊一次, 時間複雜度 $\mathcal{O} (n)$

事實上因為 $a_i$ 單調性, 完全可以使用佇列處理

程式碼

略了, 好累啊

總結

有啥好說的, 練 $\rm{dp}$

注意考慮轉移時不需要考慮本質相同的轉移

寫部落格就該這樣, 不能看著題解抄, 自己理一遍

11.22 CW 模擬賽 T3.重複

演算法

資料結構最佳化

利用單調性最佳化

程式碼

總結

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