B. la
題意：給定 \(n, m\) 和 \(1 \sim m\) 的排列 \(b\)。有一個長度為 \(n\) 的陣列 \(a\)，所有 \(a_i\) 的值在 \([1, m]\) 中隨機。定義一次變換為同時對所有 \(i \in [1, n]\) 執行 \(a_i \gets b_{a_i}\)。求期望多少次能將所有 \(a\) 變回原樣。
首先將期望轉化成答案總和除以 \(m^n\)。
考慮連邊 \(i \to b_i\)，表示若 \(x = i\) 則 \(x\) 可以透過一次變換成為 \(b_i\)。
因為 \(b\) 是個排列，且 \(i\) 互不相同，所以圖中所有點的入度和出度都為 \(1\)。也就是說整張圖是由若干個環構成的。當然也包括自環。
令某個環的大小為 \(s\)。那麼這個環上的任意一個點都可以透過 \(s \times k\)（\(k \in \mathbb N\)）次變換回到開始。
所以若我們令 \(i\) 所在的環的大小為 \(w_i\)，那麼當 \(a\) 確定時答案為 \(\operatorname{lcm}(w_{a_1}, w_{a_2}, \dots, w_{a_n})\)。
暴力列舉 \(a\) 顯然不行。考慮最佳化。
思考 \(\operatorname{lcm}\) 的性質。這個運算關注的是一個數字是否出現過，而跟這個數字出現的次數沒有關係。例如 \(\operatorname{lcm}(3, 5, 7) = \operatorname{lcm}(3, 5, 7, 7, 7) \ne \operatorname{lcm}(3, 5)\)。
注意到 \(m \le 100\)。這意味著圖中環的長度只有不超過 \(13\) 種。因為 \(1 + 2 + \dots + 13+14 = 105 > m\)。注意這裡說的是長度的種類數而不是環的個數。
所以我們要計算的答案 \(\operatorname{lcm}(w_{a_1}, w_{a_2}, \dots, w_{a_n})\) 裡，集合 \(\{w_{a_1}, w_{a_2}, \dots, w_{a_n}\}\) 的大小不超過 \(13\)。所以我們可以以 \(2^{13}\) 的複雜度列舉這個集合！算出 \(\operatorname{lcm}\) 後再算一個方案數乘起來就是答案！
具體的，我們列舉環長集合（即每種環的長度構成的集合）的子集 \(S\)。若我們能計算出有多少個 \(a\)，使得每個 \(a_i\) 都滿足 \(w_{a_i} \in S\)，且對於每個 \(v \in S\) 都存在至少一個 \(a_i = v\)。那麼這樣的 \(a\) 的數量與 \(\operatorname{lcm}_{v \in S} v\) 的乘積再累加即可計算最終答案。
有點抽象。我們再明確一下當前的任務：
- 計算有多少個 \(a\)，滿足：
- 對於每個 \(a_i\) 都滿足 \(w_{a_i} \in S\)；
- 且對於每個 \(v \in S\) 都存在至少一個 \(a_i = v\)。（這個條件如果不滿足就無法保證 \(\operatorname{lcm}a = \operatorname{lcm}S\)。）
我們預處理一個 \(c_i\) 表示多少 \(j\) 滿足 \(i=w_j\)，即每種長度的所有環內的點的數量。
沒有第二個條件很好做。答案是 \((\sum_{v \in S}c_v)^n\)。這是因為 \(a\) 的每一位都有 \(\sum_{v \in S}c_v\) 種方案。令 \(g(S) = (\sum_{v \in S}c_v)^n\)。
我們令有了第二個條件後的答案為 \(f(S)\)。那麼可以容斥。即：
所以答案為：