int
將每一個浮點數乘上 \(10^9\)，然後問題就可以轉化成，有多少對數的乘積至少包含 $18 $ 個末尾 \(0\)。
然後計算每一個數的 \(2\) 和 \(5\) 的因子數量。
統計一下 \(2\) 和 \(5\) 因子數量和都不小於 \(18\) 的數對數量即可。
math
顯然要將所有數從大到小、從高位到低位依次填入，使高位的數儘量大。
可以貪心地選擇將當前的數字要填在哪一個中。
假設兩個數已填入的字首分別為 \(a,b\)，當前數字為 \(c\)。
若將 \(c\) 放在 \(a\) 後，乘積為 \((10a+c)b\)。
若將 \(c\) 放在 \(b\) 後，乘積為 \((10b+c)a\)。
相減得 \(c(b-a)\)，我們要選擇較大的乘積，若 \(b>a\) 則將 \(c\) 放在 \(a\) 後，若 \(a>b\) 則將 \(c\) 放在 \(b\) 後這只是一個感性的分析，但可以啟示我們：將數放在當前較小的字首後
寫個暴力拍一拍，發現這樣會錯，需要加上一個補丁：當字首相等時，放在可填的剩餘位數較少的字首後這樣就可以了，比較大小與相乘的做法參考高精。
game
我們知道兩個人選的一定都是一段區間。考慮列舉 Alice 第一個落子的位置 \(X\)，那麼最終的答案肯定是區間 \([L,R]\)，其中 \(X \in [L,R]\)，\(R - L + 1 = \lceil \frac{n}{2} \rceil\)。
Bob 會盡量讓 Alice 選擇最差的區間。考慮最差的區間是否能被 Bob 逼出來。
假設第一次落子在 \(X\)，最差答案為 \([L,R]\)。假設 Bob 會落子在 \(Y\)。我們需要讓除了 \([L,R]\) 之外的所有位置到 \(X\) 的距離比到 \(Y\) 的距離更長，這樣才能保證這些位置被 \(Y\) 控制。那麼 \(2L - X\) 就是一個極好的位置，如果 \(X\) 往一個方向延伸，我們對應把 \(Y\) 往這個方向延伸即可。也就是說，如果第一步下在 \(X\) 的位置，之後就會被逼到所有包含了 \(X\) 的 \([L,R]\) 中，\(A_L + A_{L + 1} + \cdots + A_{R}\) 最小的位置。單調佇列維護這個東西即可。
以上描述全部在 \(\bmod N\) 意義下進行。
posters
\(k=1\) 時，直接輸出唯一一張海報面積即可。
\(k=2\) 時，注意到一定是貼在相對的兩個角旁邊最優，直接計算面積並。
\(k=3\) 時，我們發現一個性質：最大的海報貼在角落是最優的。那麼我們列舉剩下兩張海報左上角的座標，計算面積依然採用容斥原理。透過簡單的剪枝或者保證較小的常數均可透過這一檔的資料。
\(k=4\) 以及 \(k=5\) 的隨機資料時，最大的海報依然要貼在角落，但是直接列舉每張海報的座標已經不能忍受了，於是我們考慮如何對他進行最佳化。不難發現，最優的情況下，每張海報至少有兩條邊要貼著牆邊或者之前某張海報的邊緣。證明考慮反證法，假如不是最優，那麼朝著某個方向平移到邊上必然不會更劣而可能更優，假設不成立。因此每次都要貼著邊緣走，然後任意時刻至多 \(4k+4\) 條邊緣直線，每條直線長度至多 \(100\) 還不滿，因此如果採用搜尋的方式實現就能透過這一檔。
\(k=5\) 的非隨機資料，如果搜尋不夠優秀，那麼你可能會在不優的地方深挖下去導致超時，所以我們需要適當進行更多的剪枝。首先我們需要最優性剪枝，如果當前面積加上後面所有海報面積之和還沒有超過當前最優答案，直接剪掉。然後我們用 set 去維護每條邊緣，加速查詢。列舉和搜尋需要注意搜尋序，優秀的搜尋序可以使最優性剪枝的效果更加顯著。當然還有一些技巧，需要根據自己的程式實現進行最佳化。
綜合以上可以獲得滿分。
ring
考場思路修改打標記，詢問直接查詢區間內所有點，複雜度 \(\mathcal O(qn)\)。
修改打標記，詢問查所有環對這個區間的貢獻，需要二分查詢和字首和，複雜度 \(\mathcal O(mn \log n)\)。
兩者很不平衡，考慮分別操作，為了方便，我們假設 \(n,m,q\) 同數量級。把環大小超過和不超過 \(B\) 的環分別稱作大環和小環。大環數量不會超過 \(\frac{n}{B}\)。
對小環的操作：暴力移位，維護區間和。樹狀陣列維護：修改 \(\mathcal O(B \log n)\)，查詢 \(\mathcal O(\log n)\)，很不平衡。改為分塊：修改 \(\mathcal O(B)\)，查詢 \(\mathcal O(B + \frac{n}{B})\)。
對大環的操作：同樣維護環上字首和，修改 \(\mathcal O(1)\)，查詢 \(\mathcal O(\frac{n}{B} \log n)\)。\(B\) 取 \(\mathcal O(\sqrt {n \log n})\) 達到最優，複雜度為 \(\mathcal O(n\sqrt{n \log n})\)。
然而複雜度不對。我們發現對大環的操作仍然很不平衡。如果要最佳化二分查詢，需要 \(\mathcal O(\frac{n^2}{B})\) 的空間。在 \(\text{32MB}\) 下，這是不現實的。但是我們可以離線！我們對於每個大環，跑所有詢問，預處理每個位置的 \(\rm{lower\_bound}\)。那麼只需要 \(\mathcal O(n)\) 的空間即可最佳化這個二分。取時間複雜度降為 \(\mathcal O(n\sqrt n)\)。（還是可以線上做，對於每個塊，維護經歷大環的移動後，塊內該大環最右邊和最左邊的點被移動到了什麼位置，同樣用字首和即可查詢，複雜度 \(\mathcal O(n \sqrt n)\)）。