還沒寫完
A. 島嶼
題意簡述：有 \(2n\) 個島。給定 \(x, y\)，其中 \(2x+y=n\)。已知島 \(i, i+n\) 之間有連邊。\([1, x] \cup [n+1,2n-x]\) 的島是紅色，其餘是白色。現在要新增 \(n\) 條邊，每條邊的兩個端點的顏色不能相同。求圖中的期望連通塊數量。
若我們將 \([1, n]\) 和 \([n + 1, 2n]\) 的島分別看作一組，那麼這兩組的前 \(x\) 個元素形如 \(1-1\)，中間 \(y\) 個形如 \(0-1\)，後 \(x\) 個形如 \(0-0\)。
比如這個例子中 \(x = 4, y = 2\)。
因為兩組中的對應位置間初始已經有連邊，即每個點的度數均為 \(1\)。此時要新加 \(n\) 條邊，且邊的端點互不相同，也就是說新圖中每個點的度數都應該增加 \(1\)，即為 \(2\)。而如果一個連通塊中所有點的度數均為 \(2\) 則這個連通塊是一個環。問題變成求圖中環的期望數量。
設計 DP 狀態 \(f(A, B, C)\) 表示有 \(A\) 個 \(1-1\)，\(B\) 個 \(0-0\)，\(C\) 個 \(0-1\) 的期望環的數量。那麼答案為 \(f(x, x, y)\)。
考慮轉移。
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\(C = 0\)：
即只有 \(A\) 個 \(1-1\) 和 \(B\) 個 \(0-0\)。因為能加的邊的兩端點的顏色不能相同，所以不能在 \(A, B\) 內部連邊，即要從 \(A, B\) 中分別選一條邊相連。而連線後 \(1-1-0-0\) 可以視作 \(1-0\) 邊，而 \(1-1,0-0\) 邊的數量分別減少。即 \(f(A, B, 0) = f(A - 1, B - 1, 1)\)。
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\(C > 0\)：
我們考慮分析第一條 \(0-1\) 邊。
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如果連自環，即在這兩個點間再加一條邊，那麼環數會增加 \(1\)，\(0-1\) 邊數量會減少 \(1\)。機率為 \(\dfrac 1{A+B+C}\)。
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如果這條 \(0-1\) 邊與另一條 \(0-1\) 邊相連，那麼 \(0-1-0-1\) 將合併成 \(0-1\)，即 \(0-1\) 邊數量減少 \(1\)。機率為 \(\dfrac{C-1}{A+B+C}\)。
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如果這條 \(0-1\) 邊的 \(0\) 與另一條 \(1-1\) 邊的 \(1\) 相連，那麼 \(1-0-1-1\) 可以看作 \(1-1\)。\(1-1\) 邊數量減少 \(1\) 又增加 \(1\) 相當於不變，而 \(0-1\) 邊的數量減少 \(1\)。機率為 \(\dfrac A{A+B+C}\)。
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如果這條 \(0-1\) 邊的 \(1\) 與另一條 \(0-0\) 邊的 \(0\) 相連，與上面類似，\(0-0\) 邊數量減少 \(1\) 又增加 \(1\) 相當於不變，而 \(0-1\) 邊的數量減少 \(1\)。機率為 \(\dfrac B{A+B+C}\)。
綜上 \(f(A, B, C) = \dfrac1{A+B+C} (f(A,B,C-1)+1) + \dfrac{C-1}{A+B+C}f(A,B,C-1) + \dfrac A{A+B+C}f(A,B,C-1) + \dfrac B{A+B+C}f(A,B,C-1)\)。化簡後是 \(f(A,B,C) = f(A,B,C-1)+\dfrac1{A+B+C}\)。
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綜上：
你發現從 \(f(x,x,y)\) 開始 DP 能用到的 DP 狀態都滿足 \(A = B\)，所以可以進一步最佳化成二維：