詳解
Borůvka 演算法的本質是一種多路 Prim 最小生成樹，複雜度 \(m\log n\)，但劣於 Kruskal 的 \(\log\)
演算法流程是這樣的
考慮當前的圖（未連邊），一定由若干連通塊構成，我們考慮連線連通塊
可以想到，對於任意一個連通塊，一定應該與儘可能優的連通塊連邊，並且，如果該連通塊不在本操作連邊，無論以後的操作如何改變其他連通塊的狀態，連通塊總是單調不減的，花費也一定是單調不減的，因此直接在本操作連邊即可
根據上述原理，可以嘗試列舉所有邊，然後嘗試用這條邊去更新端點所在連通塊，對於連通塊，則選擇一個最優的邊來更新自身
可以想到在一次操作中，總有至少一半的連通塊被連線而消失，複雜度 \(m\log n\)
需要注意的有以下幾點
- “最優的邊” 在這裡必須是嚴格的，即你需要保證不存在 \(i,j\in [1,m]\)，使得兩條邊 \(e_i=e_j\)，至於為什麼要這麼做，一個經典的例子是重邊，如果現在有 \((1,2,w=1)\) 和 \((2,1,w=1)\) 兩條邊，這兩條邊使得連通塊 \(1\) 和連通塊 \(2\) 都能被更新到，這樣在合併的時候會連出環來，保證嚴格的最優性一般採用編號做第二關鍵字的辦法
- 當然，你在無向圖上跑最小生成樹也會連出環，這個時候的解決辦法是你在第二個迴圈裡合併連通塊之前判一下
Borůvka 需要判的東西比較多，注意不要漏掉
P3366 【模板】最小生成樹
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int best[100001];
struct edge{
int from,to,w;
int id;
bool used;
bool operator <(const edge&A)const{
if(w==A.w) return id<A.id;
return w<A.w;
}
};
vector<edge>e={{0,0,0,0,true}};
struct dsu{
int fa[100001];
void clear(){
for(int i=1;i<=n;++i){
fa[i]=i;
}
}
int find(int id){
if(id==fa[id]) return id;
return fa[id]=find(fa[id]);
}
bool samefa(int x,int y){
int fx=find(x),fy=find(y);
return fx==fy;
}
bool join(int x,int y){
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx==fy) return false;
fa[fx]=fy;
return true;
}
}d;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
e.push_back({x,y,z,i,false});
}
d.clear();
int ans=0,tot=0;
while(1){
bool flag=false;
memset(best,0,sizeof best);
for(edge i:e){
if(i.used or d.samefa(i.from,i.to)) continue;
int tmp=d.find(i.from);
int tmp2=d.find(i.to);
if(best[tmp]==0 or i<e[best[tmp]]){
best[tmp]=i.id;
}
if(best[tmp2]==0 or i<e[best[tmp2]]){
best[tmp2]=i.id;
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
if(d.find(i)==i){
if(best[i]!=0 and e[best[i]].used==false){
e[best[i]].used=true;
ans+=e[best[i]].w;
tot++;
d.join(e[best[i]].from,e[best[i]].to);
flag=true;
}
}
}
if(!flag) break;
}
if(tot!=n-1) cout<<"orz";
else cout<<ans;
}
使用
顯然，Borůvka 在稠密圖上的表現不如 Prim，在稀疏圖上的表現不如 Kruskal
那要這玩意有什麼用嗎
是因為 Borůvka 適用於一類特殊題目
這類題目形如 給你一個完全圖，完全圖上的邊權可以透過端點的點權經過某種計算得出，求最小生成樹
這樣的題充分利用了 Borůvka 只會合併 \(\log n\) 次的性質，這是其他兩個最小生成樹演算法做不到的
但是這並不意味著你套模板就行了，暴力 Borůvka 仍然在 \(n^2\log\) 級別，需要一些有性質的圖來最佳化演算法（一般是快速找到最小邊權）
星際聯邦
完全圖上每個點有點權 \(a_i\)，定義 \((u,v)(u\lt v)\) 的邊權為 \(a_v-a_u\)，求最小生成樹
(大概綠-藍)
我們在每一輪需要找到這個點向外到另一個聯通塊內的最小邊。注意到當 \(i\) 固定時，最小邊要麼是字首 \([1, i)\) 的最大值取到的，要麼是 \((i, n]\) 內的字尾最小值取到的。我們只需要對每個字首維護最大值，以及和最大值不在同一個聯通塊內的最大值，字尾同理，就可以快速求出該聯通塊向外的最小邊
時間複雜度為 \(O(n \log n)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
int a[300005];
struct val_t{
long long val,pos;
inline bool operator<(const val_t&A)const{
return val<A.val;
}
inline bool operator>(const val_t&A)const{
return val>A.val;
}
inline bool operator!=(const val_t&A)const{
return pos!=A.pos;
}
};
inline val_t max(val_t a,val_t b){
return a>b?a:b;
}
inline val_t min(val_t a,val_t b){
return a<b?a:b;
}
struct pairval_t{
val_t x,y;
};
const val_t pos_inf={inf,0};
const val_t neg_inf={-inf,0};
inline pairval_t max(pairval_t a,pairval_t b){
pairval_t ans={max(a.x,b.x),neg_inf};
if(a.x!=ans.x and a.x>ans.y) ans.y=a.x;
if(a.y!=ans.x and a.y>ans.y) ans.y=a.y;
if(b.x!=ans.x and b.x>ans.y) ans.y=b.x;
if(b.y!=ans.x and b.y>ans.y) ans.y=b.y;
return ans;
}
inline pairval_t min(pairval_t a,pairval_t b){
pairval_t ans={min(a.x,b.x),pos_inf};
if(a.x!=ans.x and a.x<ans.y) ans.y=a.x;
if(a.y!=ans.x and a.y<ans.y) ans.y=a.y;
if(b.x!=ans.x and b.x<ans.y) ans.y=b.x;
if(b.y!=ans.x and b.y<ans.y) ans.y=b.y;
return ans;
}
struct pairval_t maxn[300001],minn[300001];
struct val_t val[300001];
inline val_t askmax(int x,int pos){
return (maxn[x].x.pos==pos)?maxn[x].y:maxn[x].x;
}
inline val_t askmin(int x,int pos){
return (minn[x].x.pos==pos)?minn[x].y:minn[x].x;
}
struct dsu{
int fa[300001];
inline void clear(){
for(int i=1;i<=n;++i){
fa[i]=i;
}
}
int operator[](int id){
if(id==fa[id]) return id;
return fa[id]=this->operator[](fa[id]);
}
}d;
inline long long Boruvka(){
long long ans=0;
d.clear();
for(int i=1;i<=n;++i){
maxn[i].x={a[i],i};
maxn[i].y=neg_inf;
minn[i].x={a[i],i};
minn[i].y=pos_inf;
}
for(int i=2;i<=n;++i){
maxn[i]=max(maxn[i-1],maxn[i]);
}
for(int i=n-1;i>=1;--i){
minn[i]=min(minn[i+1],minn[i]);
}
while(1){
bool flag=false;
for(int i=1;i<=n;++i){
val[i]=pos_inf;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
int now=d[i];
val_t p=askmin(i,now);
val_t q=askmax(i,now);
if(q.val!=-inf and a[i]-q.val<=val[now].val){
val[now]={a[i]-q.val,q.pos};
}
if(p.val!=inf and p.val-a[i]<=val[now].val){
val[now]={p.val-a[i],p.pos};
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
if(d[i]==i){
if(d[val[i].pos]==i or val[i].val==inf) continue;
d.fa[d[val[i].pos]]=i;
ans+=val[i].val;
flag=true;
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
maxn[i].x={a[i],d[i]};
maxn[i].y=neg_inf;
minn[i].x={a[i],d[i]};
minn[i].y=pos_inf;
}
for(int i=2;i<=n;++i){
maxn[i]=max(maxn[i-1],maxn[i]);
}
for(int i=n-1;i>=1;--i){
minn[i]=min(minn[i+1],minn[i]);
}
if(!flag) break;
}
return ans;
}
int main(){
freopen("star.in","r",stdin);
freopen("star.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>a[i];
}
cout<<Boruvka();
}
CF888G Xor-MST
完全圖上每個點有點權 \(a_i\)，定義 \((u,v)(u\neq v)\) 的邊權為 \(a_u \operatorname{xor} a_v\)，求最小生成樹
考慮放到 trie 樹上維護異或和最值
碼量還行，找個時間碼了
(紫)
圖
給定兩顆帶權無向樹 \(T_1,T_2\)，定義 \(dis_i(x,y)\) 表示樹 \(T_i\) 上 \(x,y\) 間的距離，現有一完全二分圖，左部，右部分別有 \(n\) 個點，定義左部點 \(i\) 與右部點 \(j\) 之間的邊權為 \(\max\limits_{x=1}^n(dis_1(i,x)+dis_2(j,x))\)，求完全二分圖最小生成樹
(chun chun ai si b)
https://h.hszxoj.com/d/hztg/contest/6716222721518607d314c04f/file/graph.cpp