【scikit-learn基礎】--『監督學習』之 嶺迴歸

wang_yb發表於2023-12-26

嶺迴歸（Ridge Regression）是一種用於處理共線性資料的線性迴歸改進方法。
和上一篇用基於最小二乘法的線性迴歸相比，它透過放棄最小二乘的無偏性，
以損失部分資訊、降低精度為代價來獲得更實際和可靠性更強的迴歸係數。

1. 概述

嶺迴歸的模型對於存在大量相關特徵（這些特徵之間存在很高的相關性）的資料時效果遠好於基於最小二乘法的線性模型。

原因就是它透過給係數的大小增加一個約束條件（即L2正則化項），來防止模型過度擬合訓練資料。
損失函式一般定義為：\(L(w) = (y-wX)^2+\lambda\parallel w\parallel_2\)
其中 \(\lambda\parallel w\parallel_2 = \lambda\sum_{i=1}^{n}w_i^2\)，也就是 L2正則化項。

模型訓練的過程就是尋找讓損失函式\(L(w)\)最小的引數\(w\)。
也就等價於：\(\begin{align} & arg\ min(y-wX)^2 \\ & s.t. \sum w_{ij}^2 < s \end{align}\)
這兩個公式表示，在滿足約束條件 \(\sum w_{ij}^2 < s\)的情況下，計算 \((y-wX)^2\)的最小值。

2. 建立樣本資料

嶺迴歸適用於特徵之間有很高關聯性的資料集。
所以用scikit-learn中的加州住房資料集，這個資料集有8個房屋售價相關的屬性，屬性之間關聯性高。
資料集的檔案獲取可以參考：TODO

從上面的文章中下載資料集（是一個zip壓縮檔案），
如下例所示，下載之後在 D:\share\data 中解壓，就可以載入了。

import os
from sklearn.datasets import fetch_california_housing

home_dir = "D:\share\data"
data = fetch_california_housing(data_home=os.path.join(home_dir, "cal_housing"))
X = data["data"]
y = data["target"]

大約有2萬多條資料。

3. 模型訓練

資料載入之後，首先劃分訓練集和測試集。

from sklearn.model_selection import train_test_split

# 分割訓練集和測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.1)

然後用嶺迴歸模型訓練資料：

from sklearn.linear_model import Ridge

# 初始化嶺迴歸線性模型
reg = Ridge()
# 訓練模型
reg.fit(X_train, y_train)

這裡，用的Ridge()模型的預設引數，它的一些主要引數如下（訓練模型時可根據情況調整引數）：

  1. alpha：控制正則化強度的常量，也就是上面公式中的 \(\lambda\)，預設值1，設定為0時，就是最小二乘法
  2. fit_intercept：是否擬合此模型的截距，預設 True
  3. copy_X：是否複製X（也就是訓練資料），預設 True，設定為False的話，有可能會改變訓練資料
  4. tol：演算法迭代時，收斂的精度上限
  5. solver：迭代時使用的求解器，包含** {auto, svd, cholesky, lsqr, sparse_cg, sag, saga, lbfgs}** 等演算法，預設 auto（根據資料型別自動選擇求解器）

最後，用測試資料來驗證訓練後模型的效能。

y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)

print("均方誤差：{}".format(mse))
print("複相關係數：{}".format(r2))
print("中位數絕對誤差：{}".format(m_error))

# 執行結果
均方誤差：0.0029948538129997903
複相關係數：0.9987534427417275
中位數絕對誤差：0.049467455621301726

從結果來看，模型的效能還不錯，均方誤差和中位數絕對誤差都比較小，而複相關係數高，說明在測試資料中，預測的值和實際的值比較接近。

4. 總結

總之，嶺迴歸在很多場景下都有應用，例如多元線性迴歸、時間序列預測、特徵選擇等。
它的主要優點是可以處理共線性資料，並且在加入噪聲的情況下會有更穩定的效能。

然而，由於其對資料的縮放敏感，嶺迴歸的一個主要侷限性是它可能對資料的尺度非常敏感。
此外，嶺迴歸正則化引數的選擇通常需要一些經驗或者實驗來確定，這也增加了其應用的複雜性。

PS.
共線性是指特徵之間存在高度相關性，這可能導致線性迴歸模型的不穩定。

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