P1004 NOIP2000 提高組 方格取數

jxyanglinus發表於2024-10-29

P1004 NOIP2000 提高組 方格取數 - 洛谷

分析

與 [[小烈送菜]] 算姐妹題了，這個輩分甚至更老一點。

如果直接按照題目，從 \(A, B\) 兩點分別出發，那麼有個問題就是不確定性，計算的時候不可控因素很多。

可以注意到，從 \(B\) 點往回走到 \(A\) 點，是和從 \(A\) 點再走一遍走到 \(B\) 點是等價的。
那麼這道題就可以轉化為兩個人從 \(A\) 點同時出發，路徑可以交叉，求從方格中取數的最大總和。

接下來，分類討論一下可能的情況。假設當前第一個人在 \((x1, y1)\)，第二個人在 \((x2, y2)\)，那麼在下一步，會有以下四種情況：

  1. 同時向下走。
  2. 同時向右走。
  3. 第一個向下走，第二個向右走。
  4. 第一個向右走，第二個向下走。

同理，第一個人在 \((x1, y1)\)，第二個人在 \((x2, y2)\) 的情況，也可以由以下四個位置到達：

  1. \((x1 - 1, y1), (x2 - 1, y2)\)
  2. \((x1, y1 - 1),(x2, y2 - 1)\)
  3. \((x1 - 1, y1),(x2, y2 - 1)\)
  4. \((x1, y1 - 1),(x2 - 1, y2)\)

分析到這個地方，這題已經很好做了。根據上面的第一種討論，可以寫出一個記憶化搜尋；而根據第二種討論，很容易寫出一種四維 DP。

另外，根據題意，同一個方格最多隻能取一次，所以要判斷座標重疊的情況。

程式碼

DP 寫法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 10;
int n;
int graph[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	while (true) {
		int x, y, val;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);
		if (x == 0 && y == 0 && val == 0) break;
		graph[x][y] = val;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			for (int k = 1; k <= n; k++) {
				for (int l = 1; l <= n; l++) {
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i - 1][j][k - 1][l] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l)); // 座標判重，相同座標只計算一次。
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j - 1][k][l - 1] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l));
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i - 1][j][k][l - 1] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l));
					f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j - 1][k - 1][l] + graph[i][j] + graph[k][l] * (i != k || j != l));
				}
			}
		}
	}
	printf("%d", f[n][n][n][n]);
	return 0;
}

記憶化搜尋

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 10;
int n;
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];
int val[maxn][maxn];

inline bool inArea(int x, int y) {
	return x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n;
}

int dx1[4] = {1, 0, 1, 0};
int dy1[4] = {0, 1, 0, 1};
int dx2[4] = {1, 0, 0, 1};
int dy2[4] = {0, 1, 1, 0};
int dfs(int _x1, int _y1, int _x2, int _y2) {
	if (f[_x1][_y1][_x2][_y2] != -1) return f[_x1][_y1][_x2][_y2];
	if (_x1 == n && _y1 == n && _x2 == n && _y2 == n) return 0;
	int maxv = -1;
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		int vx1 = _x1 + dx1[i], vy1 = _y1 + dy1[i];
		int vx2 = _x2 + dx2[i], vy2 = _y2 + dy2[i];
		if (!inArea(vx1, vy1) || !inArea(vx2, vy2)) continue;
		maxv = max(maxv, dfs(vx1, vy1, vx2, vy2) + val[vx1][vy1] + val[vx2][vy2] * (vx1 != vx2 || vy1 != vy2));
	}
	f[_x1][_y1][_x2][_y2] = maxv;
	return f[_x1][_y1][_x2][_y2];
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	memset(f, -1, sizeof(f)); // 注意初始化為 -1, 因為可能出現取的數為 0 的情況
	while (true) {
		int x, y, v;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
		if (x == 0 && y == 0 && v == 0) break;
		val[x][y] = v;
	}
	dfs(1, 1, 1, 1);
	printf("%d", f[1][1][1][1] + val[1][1]); // 搜尋時沒有算 (1, 1)，在這裡加上
	return 0;
}

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