2024初秋集訓——提高組 #34

Yaosicheng124發表於2024-10-09

A. 庸醫

題目描述

有 \(N\) 個醫生，第 \(i\) 個醫生建議你在 \([L_i,R_i]\) 天中吃 \(x_{i,1},x_{i,2},\dots,x_{i,K_i}\) 種藥各一粒。第 \(i\) 種藥每粒需要 \(c_i\) 元。如果多個醫生讓你吃同一種藥，那麼你只需吃一粒。你認為其中有一位庸醫，所以對於每個醫生求出按照除去他外的醫生吃藥需要多少元。

思路

我們考慮先求出所有醫生的代價，再減去對應醫生的。

我們列舉每一天，並用差分維護當前每一天需要花的錢，來求出所有醫生的代價。

對於每個醫生，將其去除後的代價為其區間內對應藥物剛好出現一次的總和。我們可以在對一個藥物的出現次數或查詢其時統計之前的總和，簡單來說就是打上一個標記，要查詢時再統計缺失的部分。

時空複雜度均為 \(O(N+M+V)\)，其中 \(V=10^6\)。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;

const int MAXM = 500001, MAXN = 500005, MAXV = 1000005;

int n, m, c[MAXM], cnt[MAXM], last[MAXM];
ll ans, res, sum[MAXM], ret[MAXN];
vector<pii> ve[MAXV];
vector<tuple<int, int, int>> vec[MAXV];

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1; i <= m; ++i) {
    cin >> c[i];
  }
  for(int i = 1, l, r, k; i <= n; ++i) {
    cin >> l >> r >> k;
    for(int j = 1, x; j <= k; ++j) {
      cin >> x;
      ve[l].emplace_back(x, 1);
      ve[r + 1].emplace_back(x, -1);
      vec[l - 1].emplace_back(x, -1, i);
      vec[r].emplace_back(x, 1, i);
    }
  }
  for(int i = 1; i < MAXV; ++i) {
    for(auto [p, v] : ve[i]) {
      if(!cnt[p] && v == 1) {
        res += c[p];
      }
      if(cnt[p] == 1 && last[p] < i) {
        sum[p] += 1ll * (i - 1 - last[p]) * c[p];
      }
      cnt[p] += v;
      last[p] = i - 1;
      if(!cnt[p] && v == -1) {
        res -= c[p];
      }
    }
    ans += res;
    for(auto [p, v, id] : vec[i]) {
      if(cnt[p] == 1) {
        sum[p] += 1ll * (i - last[p]) * c[p];
      }
      last[p] = i;
      ret[id] += v * sum[p];
    }
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cout << ans - ret[i] << " ";
  }
  return 0;
}

B. 拓撲序計數

題目描述

給定一個 DAG，你要對於每個 \(1\le i,j\le N\) 求出有多少種拓撲序使得 \(j\) 在 \(i\) 之前。

思路

考慮狀壓 dp。

我們令 \(f_S\) 表示拓撲序的一段字尾使用了數字集合 \(S\) 的方案數。轉移顯然。

我們再正著做一遍：令 \(dp_S\) 表示拓撲序的一段字首使用了數字集合 \(S\) 的方案數。我們列舉 \(i\not \in S\)，放在後面，再列舉 \(j\in S\)，則顯然此時 \(j\) 在 \(i\) 之前，方案數為 \(f_{U-S-\{i\}}\cdot dp_S\)，這裡 \(U\) 是全集，將方案數累加即可。

空間複雜度 \(O(2^N)\)，時間複雜度 \(O(2^NN^2)\)。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MAXN = 21;

int t, n, m, f[MAXN];
ll dp[1 << 20], dp2[1 << 20], ans[MAXN][MAXN];

void Solve() {
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    f[i] = 0;
  }
  for(int i = 1, u, v; i <= m; ++i) {
    cin >> u >> v;
    f[v] |= (1 << (u - 1));
  }
  for(int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
    dp[i] = dp2[i] = 0;
  }
  dp[0] = dp2[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
      ans[i][j] = 0;
    }
  }
  for(int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
    for(int u = 1; u <= n; ++u) {
      if(!((i >> (u - 1)) & 1) && !(i & f[u])) {
        dp2[i | (1 << (u - 1))] += dp2[i];
      }
    }
  }
  for(int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
    for(int u = 1; u <= n; ++u) {
      if(!((i >> (u - 1)) & 1) && (i & f[u]) == f[u]) {
        ll res = dp2[((1 << n) - 1) ^ i ^ (1 << (u - 1))];
        for(int j = 1; j <= n; ++j) {
          if((i >> (j - 1)) & 1) {
            ans[u][j] += res * dp[i];
          }
        }
        dp[i | (1 << (u - 1))] += dp[i];
      }
    }
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
      cout << ans[i][j] << " \n"[j == n];
    }
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  for(cin >> t; t--; Solve()) {
  }
  return 0;
}

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