SVD矩陣分解考慮時間因素

推薦系統種矩陣分解有著不錯的效果，其中SVD（Singular Value Decomposition）奇異值矩陣分解也是常用的一種方法，通過對原始矩陣進行SVD分解後，可以將原始高緯資料對映到低維空間，在降維過程中，其關注的是如何去除噪聲和保留更多有效資訊。

其優點：簡化資料，去除噪聲，提高演算法結果
缺點：分解過程和實際業務執行過程匹配不上
適用資料型別：數值型

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SVD的原理文章有很多，這裡主要談加入時間因素的矩陣如何做分解。以我正在研究的雲平臺下虛擬機器效能預測為背景，利用TSVD(time)預測除下一時刻虛擬機器效能的實用情況。這裡效能是指：CPU、記憶體、I/O負載和頻寬。

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步驟如下：

● 建立負載資訊矩陣S
考慮四種資源資料：CPU、記憶體、I/O負載和頻寬，儲存過去一段時間T的四種資源資料，建立負載資訊矩陣S，其中行表示每個時刻（或每個小週期）四種資源的監測量，列表示四種資源在時間T內的使用情況。

● SVD分解
然後，根據SVD分解原理，將負載資訊矩陣S分解為U、E、V。其中U為時間資訊矩陣，E為奇異值對角矩陣(矩陣S和其轉置乘積的特徵值的平方根)，V為資源資訊矩陣。（U和V都是正交矩陣，E的對角元素從大到小排列）

● 時間向量相似性計算
假設當前時刻為t0，要預測下一時刻tf的負載。方法是在U中，找t0之前的所有時刻中找和t0最相似的時間向量(行向量)tc，通過點積運算(由於)找最相似，由於U是正交陣，故t0和tc的模為1，故只需找夾角即可，越小，相似度越高。

● 將來時刻tf的負載預測

tc找到後，tc的下一刻tc-1和當前時刻ti是影響tf時刻的關鍵向量。取兩者線性組合。（本質就是認為將來時刻的負載和當前和歷史最相似向量兩者有關。）

● 奇異值對角矩陣E重要特徵選取
並不是所有的奇異值都可以表示資料的重要特徵，對於排名靠後的奇異值要剔除（干擾因子），本文只刪除了最後一個。其實，常用方法是選取矩陣E中總能量的90%的資訊。
總能量：所有奇異值平方和
90%資訊：從大往後依次取奇異值平方相加，直到第一次大於90%為止。則取前幾個奇異值。
● 下一時刻預測出的負載使用量為：

注意：V’是根據E’的變化而變化的，最終目的是保證矩陣大小和原始一樣。
SVD也是通過將|S-Sf|作為目標函式，通過SGD等方法求得U(tf)、E、V。
這篇論文作為一種效能預測的思路，其實挺簡單的，而且實現起來也很容易。但是它也只是在單個虛擬機器上進行預測，沒有考慮分散式的需求。