如何通俗理解泊松分佈？

原文：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81114920 

1 甜在心饅頭店

公司樓下有家饅頭店：

每天早上六點到十點營業，生意挺好，就是發愁一個事情，應該準備多少個饅頭才能既不浪費又能充分供應？

老闆統計了一週每日賣出的饅頭（為了方便計算和講解，縮小了資料）：

均值為：

按道理講均值是不錯的選擇（參見如何理解最小二乘法？），但是如果每天準備5個饅頭的話，從統計表來看，至少有兩天不夠賣， 的時間不夠賣：

你“甜在心饅頭店”又不是小米，搞什麼飢餓營銷啊？老闆當然也知道這一點，就拿起紙筆來開始思考。

2 老闆的思考

老闆嘗試把營業時間抽象為一根線段，把這段時間用  來表示：

然後把週一的三個饅頭（“甜在心饅頭”，有褶子的饅頭）按照銷售時間放線上段上：

把  均分為四個時間段：

此時，在每一個時間段上，要不賣出了（一個）饅頭，要不沒有賣出：

在每個時間段，就有點像拋硬幣，要不是正面（賣出），要不是反面（沒有賣出）：

 內賣出3個饅頭的概率，就和拋了4次硬幣（4個時間段），其中3次正面（賣出3個）的概率一樣了。

這樣的概率通過二項分佈來計算就是：

但是，如果把週二的七個饅頭放線上段上，分成四段就不夠了：

從圖中看，每個時間段，有賣出3個的，有賣出2個的，有賣出1個的，就不再是單純的“賣出、沒賣出”了。不能套用二項分佈了。

解決這個問題也很簡單，把  分為20個時間段，那麼每個時間段就又變為了拋硬幣：

這樣， 內賣出7個饅頭的概率就是（相當於拋了20次硬幣，出現7次正面）：

為了保證在一個時間段內只會發生“賣出、沒賣出”，乾脆把時間切成  份：

越細越好，用極限來表示：

更抽象一點， 時刻內賣出  個饅頭的概率為：

3  的計算

“那麼”，老闆用筆敲了敲桌子，“只剩下一個問題，概率  怎麼求？”

在上面的假設下，問題已經被轉為了二項分佈。二項分佈的期望為：

那麼：

4 泊松分佈

有了 了之後，就有：

我們來算一下這個極限：

其中：

 

所以：

上面就是泊松分佈的概率密度函式，也就是說，在  時間內賣出  個饅頭的概率為：

一般來說，我們會換一個符號，讓  ，所以：

這就是教科書中的泊松分佈的概率密度函式。

5 饅頭店的問題的解決

老闆依然蹙眉，不知道  啊？

沒關係，剛才不是計算了樣本均值：

可以用它來近似：

於是：

畫出概率密度函式的曲線就是：

可以看到，如果每天準備8個饅頭的話，那麼足夠賣的概率就是把前8個的概率加起來：

這樣  的情況夠用，偶爾賣缺貨也有助於品牌形象。

老闆算出一腦門的汗，“那就這麼定了！”

6 二項分佈與泊松分佈

鑑於二項分佈與泊松分佈的關係，可以很自然的得到一個推論，當二項分佈的  很小的時候，兩者比較接近：

7 總結

這個故事告訴我們，要努力學習啊，要不以後饅頭都沒得賣。

生活中還有很多泊松分佈。比如物理中的半衰期，我們只知道物質衰變一半的時間期望是多少，但是因為不確定性原理，我們沒有辦法知道具體哪個原子會在什麼時候衰變？所以可以用泊松分佈來計算。

還有比如交通規劃等等問題。