NumPy 泊松分佈模擬與 Seaborn 視覺化技巧

小万哥丶發表於2024-05-29
視覺化

泊松分佈

簡介

泊松分佈是一種離散機率分佈，用於描述在給定時間間隔內隨機事件發生的次數。它常用於模擬諸如客戶到達商店、電話呼叫接入中心等事件。

引數

泊松分佈用一個引數來定義：

λ：事件發生的平均速率，表示在單位時間內事件發生的平均次數。

公式

泊松分佈的機率質量函式 (PMF) 給出了在指定時間間隔內發生 k 次事件的機率，計算公式為：

P(k) = e^(-λ) (λ^k) / k!

其中：

e^(-λ)：表示沒有事件發生的機率。
(λ^k)：表示 k 次事件發生的機率。
k!：表示 k 個元素的階乘，即 k × (k - 1) × (k - 2) × ... × 2 × 1。

生成泊松分佈資料

NumPy 提供了 random.poisson() 函式來生成服從泊松分佈的隨機數。該函式接受以下引數：

lam：事件發生的平均速率。
size：輸出陣列的形狀。

示例：生成一個平均速率為 5 的事件在 10 個時間間隔內發生的次數：

import numpy as np

data = np.random.poisson(lam=5, size=10)
print(data)

視覺化泊松分佈

Seaborn 庫提供了便捷的函式來視覺化分佈，包括泊松分佈。

示例：繪製平均速率為 7 的事件在 1000 個時間間隔內發生的次數分佈：

import seaborn as sns
import numpy as np

data = np.random.poisson(lam=7, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

正態分佈與泊松分佈的關係

當事件發生的平均速率 λ 很大時，泊松分佈可以近似為正態分佈。其均值 μ 為 λ，標準差 σ 為 sqrt(λ)。

示例：比較泊松分佈和正態分佈的形狀：

import seaborn as sns
import numpy as np

lam = 50

# 生成泊松分佈資料
data_poisson = np.random.poisson(lam=lam, size=1000)

# 生成正態分佈資料
mu = lam
sigma = np.sqrt(lam)
data_normal = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=1000)

sns.distplot(data_poisson, label="Poisson")
sns.distplot(data_normal, label="Normal")
plt.legend()
plt.show()

練習

  1. 在一個小時內，一家商店平均收到 10 位顧客。模擬顧客到達商店的次數並繪製分佈圖。
  2. 比較不同平均速率下泊松分佈形狀的變化。
  3. 利用泊松分佈來模擬一個呼叫中心每天接到的電話呼叫數量，並計算平均呼叫量和每天接聽超過 30 個電話的機率。

解決方案

import seaborn as sns
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 模擬顧客到達商店的次數並繪製分佈圖
data = np.random.poisson(lam=10, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

# 2. 比較不同平均速率下泊松分佈形狀的變化
lam_values = [5, 10, 20, 50]
for lam in lam_values:
    data = np.random.poisson(lam=lam, size=1000)
    sns.distplot(data, label=f"λ={lam}")
plt.legend()
plt.show()

# 3. 模擬電話呼叫數量並計算平均呼叫量和每天接聽超過 30 個電話的機率
calls_per_day = np.random.poisson(lam=150, size=365)
print("平均呼叫量:", calls_per_day.mean())
print("每天接聽超過 30 個電話的機率:", (calls_per_day > 30).mean())

最後

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