如何生成指定分佈的隨機數

超人汪小建發表於2018-04-26

前言

對於隨機數平時我們還是比較常用的，一般都會直接通過各種語言原生自帶的隨機函式，比如 c++ 中有random()函式，java 中有 Random 類，python 有 random 模組等等。都能很方便生成隨機變數，但它們有一個特點，那就是都服從均勻分佈，而有些場景需要要生成不同分佈的隨機變數。

隨機變數

隨機變數即隨機函式，通過該函式能生成每個可能事件對應的一個值。比如我們擲骰子，每次按一定的概率生成一個值。有兩種型別變數，

離散型隨機變數，能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個。
連續型隨機變數，能取到的值可以是連續的，在某個區間內可取任意一實數。

概率密度函式

主要用來表示不同點對應的概率大小，即X軸上每個單位長度對應的概率大小。概率等於面積，當某區間長度趨於0時則變為一個點，此時概率大小為f(x)。

常見分佈

伯努利分佈，即0-1分佈，隨機變數為0或為1，概率為p和1-p。
二項分佈，進行n次伯努利實驗，相對於不同成功次數對應的概率。
泊松分佈，是二項分佈的極限形式。
均勻分佈，在相同長度間隔的分佈概率是等可能的。
正態分佈，又名高斯分佈，正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高。
指數分佈，描述事件以恆定平均速率連續且獨立地發生的過程的概率分佈。
邏輯斯蒂分佈，增長分佈，形狀有點像正態分佈。

生成分佈演算法

Inverse Transform Method，首先生成一個均勻分佈的隨機數，再求指定分佈的分佈函式F(x)，然後求得F(x)的逆函式G(x)，將隨機數帶入逆函式得到的即為指定分佈的隨機數。
Acceptance-Rejection Method，首先生成一個均勻分佈隨機數a，設概率密度函式為f(x)，然後再生成一個均勻分佈隨機數b，若b<=f(a)，則成功得到指定分佈的隨機數，否則從頭開始。

實現

兩種演算法都比較容易理解，第一個需要求逆函式，有時並不好求，而第二個基本沒什麼限制，對於任何分佈都能很完成任務。下面就用第二種方法實現生成幾種分佈的隨機數。

正態分佈

def normal_pdf(x, mu=0, sigma=1):
    return (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * sigma)) * (math.exp(-math.pow(x - mu, 2) / (2 * math.pow(sigma, 2))))
    
def standard_normal_rand():
    while True:
        a = random.uniform(-4.0, 4.0)
        b = random.uniform(0.0, 3.0)
        if b < normal_pdf(a):
            return a, b
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指數分佈

def exponential_pdf(x, lam=1):
    return lam * math.exp(-lam * x)
    
def exponential_rand():
    while True:
        a = random.uniform(0.0, 100.0)
        b = random.uniform(0.0, 3.0)
        if b <= exponential_pdf(a):
            return a, b
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泊松分佈

def poisson_pdf(x, lam=1):
    return (math.pow(lam, x) / math.factorial(x)) * math.exp(-lam)

def poisson_rand():
    while True:
        a = random.randint(0, 50)
        b = random.uniform(0.0, 1.0)
        if b <= poisson_pdf(a):
            return a, b
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