面試題 08.03. 魔術索引

題目來源：力扣（LeetCode）

題目

魔術索引。 在陣列A[0…n-1]中，有所謂的魔術索引，滿足條件A[i] = i。給定一個有序整數陣列，編寫一種方法找出魔術索引，若有的話，在陣列A中找出一個魔術索引，如果沒有，則返回-1。若有多個魔術索引，返回索引值最小的一個。

示例1:

 輸入：nums = [0, 2, 3, 4, 5]
 輸出：0
 說明: 0下標的元素為0

示例2:

 輸入：nums = [1, 1, 1]
 輸出：1

說明:

• nums長度在[1, 1000000]之間
• 此題為原書中的 Follow-up，即陣列中可能包含重複元素的版本

解題思路

思路：剪枝，分治

這裡先提一下，只是看本題的話，可能會有些爭議，後面再解釋。

現在先審題，理清其中的關鍵點：

• 給定的陣列是有序的（題目中只說有序，並未說是升序還是降序，這裡結合示例，先預設是升序）；
• 題目要求的魔術索引，即是滿足條件 A[i] = i；
• 陣列中可能存在多個魔術索引，存在時，返回索引值最小的；
• 不存在魔術索引，則返回 -1。

現在，結合上面羅列的關鍵點，可以發現陣列有序（前面說了先預設升序），即使存在多個魔術索引，返回的也是最小索引的一個。那麼現在能直接想到的就是直接遍歷陣列，當滿足條件 nums[i]==i，直接返回即可，沒有就返回 -1。相關程式碼大致如下：

class Solution:
    def findMagicIndex(self, nums: List[int]) -> int:
        for i in range(len(nums)):
            if nums[i] == i:
                return nums[i]
        return -1

就前面開篇說的爭議，稍微吐槽下，當寫完上面段程式碼時，總覺得事情沒那麼簡單。後面去翻閱了官方題解下的評論，的確有很大的爭議。

這裡大致說下，只看本題的話，最直觀的就是直接遍歷，暴力法解決。可以回顧下題目，題目最後的說明中提及到 【此題為原書中的 Follow-up，即陣列中可能包含重複元素的版本】。

這裡說的是此題是可能存在重複元素的版本，所以筆者也去翻閱了原題。查閱的結果是，原題是有兩部分：

• 一個是給定陣列升序，元素值各不相同，要求給定的陣列中是否存在魔術索引；
• 另一個是給定不下降序列，元素值可能相同，求是否存在魔術索引。（也就是本題）

而且題目中 說明：思考是否存在一個複雜度優於 O(n) 的方法。

那麼就現在就查閱的資料結合本題，進行展開說明。

這裡，在原題第一部分的基礎上，重新來看這題。題目中說明，【有可能存在多個魔術索引，元素可能重複】。那我們將情況分開討論：

• 首先先討論，當只有一個魔術索引時。

我們先假設存在魔術索引 i，那麼也就意味著 [0, i-1] 這個區間中，索引對應的值均小於索引值，而 [i+1, n-1] 這個區間的索引對應的值則均大於索引值。我們舉個例子來說明，例如給定如下陣列：

nums = [-1, 0, 1, 3, 5]

那麼，上面陣列中每個索引對應的元素值與索引的差值如下：

[-1, -1, -1, 0, 1]

可以看到，上面的陣列是具有單調性的，那麼我們只要使用二分查詢，找到 0 所在的位置，返回答案即可。

• 再看可能存在多個魔術索引的情況，這裡也同樣將可能重複的情況引入進來。

假設存在這樣的一個陣列

nums = [0, 0, 1, 1, 4, 6]

還是按照前面的策略，用元素值減去元素對應的索引，得：

[0, -1, -1, -2, 0, 1]

現在，我們可以看到，結果並不具備單調性，在這裡不能夠直接用二分查詢的方法去解決。在這裡，我們要進行適當的剪枝，具體的做法如下：

• 同樣還是先取中間元素，如果中間元素剛好是魔術索引，這個時候要注意，因為有可能有多個魔術索引，當前的魔術索引並不是最小的那個。但是我們可以確定的是，中間元素右側的索引值較大，即使存在魔術索引也不是更小的那個，那麼此時可以拋開右側部分，轉而去查詢左側部分是否還有更小的魔術索引。
• 如果中間元素不是魔術索引，這裡無法確定魔術索引可能存在於哪側。這個時候，兩邊都要進行搜尋。

在這裡，根據上述的做法，我們用遞迴的方法去搜尋。

具體程式碼實現如下（含註釋）。

再囉嗦一句，其實到最後，使用遞迴的方法，也是往左側找答案，反而有可能影響效率。不過，這也是一種方法，當然也可以不追究原題如何，直接一次遍歷查詢答案。

程式碼實現

class Solution:
    def findMagicIndex(self, nums: List[int]) -> int:
        return self.find_magic_index(nums, 0, len(nums) - 1)

    def find_magic_index(self, nums, left, right):
        # 未找到的符合要求的返回 -1
        if left > right:
            return -1

        # 取中間元素
        mid = left + (right - left) // 2

        # 先看是否能找到第一個魔術索引，先往左側找
        left_ans = self.find_magic_index(nums, left, mid-1)

        # 如果左側存在，那麼返回 left_ans
        if left_ans != -1:
            return left_ans
        # 如果不存在，先比較 nums[mid] == mid
        elif nums[mid] == mid:
            return mid
        # 不存在，且 nums[mid] != mid 時，往右側尋找
        return self.find_magic_index(nums, mid + 1, right)

實現結果