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今天是LeetCode專題43篇文章，我們今天來看一下LeetCode當中的74題，搜尋二維矩陣，search 2D Matrix。
這題的官方難度是Medium，通過率是36%，和之前的題目不同，這題的點贊比非常高，1604個贊，154個反對。可見這題的質量還是很高的，事實上也的確如此，這題非常有意思。
題意
這題的題意也很簡單，給定一個二維的陣列matrix和一個整數target，這個陣列當中的每一行和每一列都是遞增的，並且還滿足每一行的第一個元素大於上一行的最後一個元素。要求我們返回一個bool變數，代表這個target是否在陣列當中。
也就是說這個是一個典型的判斷元素存在的問題，我們下面來看看兩個樣例：
Input:
matrix = [
[1, 3, 5, 7],
[10, 11, 16, 20],
[23, 30, 34, 50]
]
target = 3
Output: true
Input:
matrix = [
[1, 3, 5, 7],
[10, 11, 16, 20],
[23, 30, 34, 50]
]
target = 13
Output: false
題解
這題剛拿到手可能會有些蒙，我們當然很容易可以看出來這是一個二分的問題，但是我們之前做的二分都是在一個一維的陣列上，現在的資料是二維的，我們怎麼二分呢？
我們仔細閱讀一下題意，再觀察一下樣例，很容易發現，如果一個二維陣列滿足每一行和每一列都有序，並且保證每一行的第一個元素大於上一行的最後一個元素，那麼如果我們把這個二維陣列reshape到一維，它依然是有序的。
比如說有這樣一個二維陣列：
[[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]]
它reshape成一維之後會變成這樣：
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
reshape是numpy當中的說法，也可以簡單理解成把每一行串在一起。所以這題最簡單的做法就是把矩陣降維，變成一位的陣列之後再通過二分法來判斷元素是否存在。如果偷懶的話可以用numpy來reshape，如果不會numpy的話，可以看下我之前關於numpy的教程，也可以自己用迴圈來處理。
reshape之後就是簡單的二分了，完全沒有任何難度：
class Solution:
def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
import numpy as np
arr = np.array(matrix)
# 通過numpy可以直接reshape
arr = arr.reshape((-1, ))
l, r = 0, arr.shape[0]
if r == 0:
return False
# 套用二分
while l+1 < r:
m = (l + r) >> 1
if arr[m] <= target:
l = m
else:
r = m
return arr[l] == target
正經做法
引入numpy reshape只是給大家提供一個解決的思路，這顯然不是一個很好的做法。那正確的方法應該是怎樣的呢？
還是需要我們對問題進行深入分析，正向思考感覺好像沒什麼頭緒，我們可以反向思考。這也是解題常用的套路，假設我們已經知道了target這個數字存在矩陣當中，並且它的行號是i，列號是j。那麼根據題目當中的條件，我們能夠得出什麼結論呢？
我們分析一下元素的大小關係，可以得出行號小於i的所有元素都小於它，行號大於i的所有元素都大於它。同行的元素列號小於j的元素小於它，列號大於j的元素大於它。
也就是說，行號i就是一條隱形的分界線，將matrix分成了兩個部分，i上面的小於target，i下方的大於target。所以我們能不能通過二分找到這個i呢？
想到這裡就很簡單了，我們可以通過每行的最後一個元素來找到i。對於一個二維陣列而言，每行的最後一個元素連起來就是一個一維的陣列，就可以很簡單地進行二分了。
找到了行號i之後，我們再如法炮製，在i行當中進行二分來查詢j的位置。找到了之後，再判斷matrix[i][j]是否等於target，如果相等，那麼說明元素在矩陣當中。
整個的思路應該很好理解，但是實現的時候有一個小小的問題，就是我們查詢行的時候，找的是大於等於target的第一行的位置。也就是說我們查詢的是右端點，那麼二分的時候維護的是一個左開右閉的區間。在邊界的處理上和平常使用的左閉右開的寫法相反，注意了這點，就可以很順利地實現演算法了：
class Solution:
def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
n = len(matrix)
if n == 0:
return False
m = len(matrix[0])
if m == 0:
return False
# 初始化，左開右閉，所以設定成-1， n-1
l, r = -1, n-1
while l+1 < r:
mid = (l + r) >> 1
# 小於target的時候移動左邊界
if matrix[mid][m-1] < target:
l = mid
else:
r = mid
row = r
# 正常的左閉右開的二分
l, r = 0, m
while l+1 < r:
mid = (l + r) >> 1
if matrix[row][mid] <= target:
l = mid
else:
r = mid
return matrix[row][l] == target
我們用了兩次二分，查詢到了結果，每一次二分都是一個O(logN)的演算法，所以整體也是log級的演算法。
優化
上面的演算法沒有問題，但是我們進行了兩次二分，感覺有些麻煩，能不能減少一次，只使用一次二分呢？
如果想要只使用一次二分就找到答案，也就是說我們能找到某個方法來切分整個陣列，並且切分出來的陣列也存在大小關係。這個條件是使用二分的基礎，必須要滿足。
我們很容易在陣列當中找到這樣的切分屬性，就是元素的位置。在矩陣元素的問題當中，我們經常用到的一種方法就是對矩陣當中的元素進行編號。比如說一個點處於i行j列，那麼它的編號就是i * m + j，這裡的m是每行的元素個數。這個編號其實就是將二維陣列壓縮到一維之後元素的下標。
我們可以直接對這個編號進行二分，編號的取值範圍是確定的，是[0, mn)。我們有了編號之後，可以還原出它的行號和列號。而且根據題目中的資訊，我們可以確定這個矩陣當中的元素按照編號也存在遞增順序。所以我們可以大膽地使用二分了：
class Solution:
def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
n = len(matrix)
if n == 0:
return False
m = len(matrix[0])
if m == 0:
return False
l, r = 0, m*n
while l+1 < r:
mid = (l + r) >> 1
# 還原行號和列號
x, y = mid // m, mid % m
if matrix[x][y] <= target:
l = mid
else:
r = mid
return matrix[l // m][l % m] == target
這樣一來我們的程式碼大大簡化，並且程式碼執行的效率也提升了，要比使用兩次二分的方法更快。
總結
這道題到這裡就結束了，這題難度並不大，想出答案來還是不難的。但是如果在面試當中碰到，想要第一時間想到最優解法還是不太容易。這一方面需要我們積累經驗，看到題目大概有一個猜測應該使用什麼型別的演算法，另一方面也需要我們對問題有足夠的理解和分析，從而讀到題目當中的隱藏資訊。
關於這題還有一個變種，就是去掉其中每行的第一個元素大於上一行最後一個元素的限制。那麼矩陣當中元素按照編號順序遞增的性質就不存在了，對於這樣的情況， 我們該怎麼樣運用二分呢？這個問題是LeetCode的240題，感興趣的話可以去試著做一下這題，看看究竟解法有多大的變化。
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