智力題（程式設計師面試經典）

NO.1
　有20瓶藥丸，其中19瓶裝有1克/粒的藥丸，餘下一瓶裝有1.1克/粒的藥丸。給你一臺稱重精準的天平，怎麼找出比較重的那瓶藥丸？天平只能用一次。
解法
有時候，嚴格的限制條件有可能反倒是解題的線索。在這個問題中，限制條件是天平只能用一次。
因為天平只能用一次，我們也得以知道一個有趣的事實：一次必須同時稱很多藥丸，其實更準確地說，是必須從19瓶拿出藥丸進行稱重。否則，如果跳過兩瓶或更多瓶藥丸，又該如何區分沒稱過的那幾瓶呢？別忘了，天平只能用一次。
那麼，該怎麼稱重取自多個藥瓶的藥丸，並確定哪一瓶裝有比較重的藥丸？假設只有兩瓶藥丸，其中一瓶的藥丸比較重。每瓶取出一粒藥丸，稱得重量為2.1克，但無從知道這多出來的0.1克來自哪一瓶。我們必須設法區分這些藥瓶。
如果從藥瓶#1取出一粒藥丸，從藥瓶#2取出兩粒藥丸，那麼，稱得重量為多少呢？結果要看情況而定。如果藥瓶#1的藥丸較重，則稱得重量為3.1克。如果藥瓶#2的藥丸較重，則稱得重量為3.2克。這就是這個問題的解題竅門。
稱一堆藥丸時，我們會有個“預期”重量。而藉由預期重量和實測重量之間的差別，就能得出哪一瓶藥丸比較重，前提是從每個藥瓶取出不同數量的藥丸。
將之前兩瓶藥丸的解法加以推廣，就能得到完整解法：從藥瓶#1取出一粒藥丸，從藥瓶#2取出兩粒，從藥瓶#3取出三粒，依此類推。如果每粒藥丸均重1克，則稱得總重量為210克（1 + 2 + … + 20 = 20 * 21 / 2 = 210），“多出來的”重量必定來自每粒多0.1克的藥丸。
藥瓶的編號可由算式(weight - 210 grams) / 0.1 grams得出。因此，若這堆藥丸稱得重量為211.3克，則藥瓶#13裝有較重的藥丸。

NO.2
　有個8×8棋盤，其中對角的角落上，兩個方格被切掉了。給定31塊多米諾骨牌，一塊骨牌恰好可以覆蓋兩個方格。用這31塊骨牌能否蓋住整個棋盤？請證明你的答案（提供範例，或證明為什麼不可能）。
解法
乍一看，似乎是可以蓋住的。棋盤大小為8×8，共有64個方格，但其中兩個方格已被切掉，因此只剩62個方格。31塊骨牌應該剛好能蓋住整個棋盤，對吧？
嘗試用骨牌蓋住第1行，而第1行只有7個方格，因此有一塊骨牌必須鋪至第2行。而用骨牌蓋住第2行時，我們又必須將一塊骨牌鋪至第3行。

要蓋住每一行，總有一塊骨牌必須鋪至下一行。無論嘗試多少次、多少種方法，我們都無法成功鋪下所有骨牌。
其實，還有更簡潔更嚴謹的證明說明為什麼不可能。棋盤原本有32個黑格和32個白格。將對角角落上的兩個方格（相同顏色）切掉，棋盤只剩下30個同色的方格和32個另一種顏色的方格。為方便論證起見，我們假定棋盤上剩下30個黑格和32個白格。
放在棋盤上的每塊骨牌必定會蓋住一個白格和一個黑格。因此，31塊骨牌正好蓋住31個白格和31個黑格。然而，這個棋盤只有30個黑格和32個白格，所以，31塊骨牌蓋不住整個棋盤。

NO.3
　有兩個水壺，容量分別為5夸脫（美製：1夸脫=0.946升，英制：1夸脫=1.136升）和3夸脫，若水的供應不限量（但沒有量杯），怎麼用這兩個水壺得到剛好4夸脫的水？注意，這兩個水壺呈不規則形狀，無法精準地裝滿“半壺”水。
解法
根據題意，我們只能使用這兩個水壺，不妨隨意把玩一番，把水倒來倒去，可以得到如下順序組合：

注意，許多智力題其實都隱含數學或電腦科學的背景，這個問題也不例外。只要這兩個水壺的容量互質（即兩個數沒有共同的質因子），我們就能找出一種倒水的順序組合，量出1到2個水壺容量總和（含）之間的任意水量。

NO.4
　有個島上住著一群人，有一天來了個遊客，定了一條奇怪的規矩：所有藍眼睛的人都必須儘快離開這個島。每晚8點會有一個航班離島。每個人都看得見別人眼睛的顏色，但不知道自己的（別人也不可以告知）。此外，他們不知道島上到底有多少人是藍眼睛的，只知道至少有一個人的眼睛是藍色的。所有藍眼睛的人要花幾天才能離開這個島？
解法
下面將採用簡單構造法。假定這個島上一共有n人，其中c人有藍眼睛。由題目可知，c > 0。

1. 情況c = 1：只有一人是藍眼睛的
   假設島上所有人都是聰明的，藍眼睛的人四處觀察之後，發現沒有人是藍眼睛的。但他知道至少有一人是藍眼睛的，於是就能推匯出自己一定是藍眼睛的。因此，他會搭乘當晚的飛機離開。
2. 情況c = 2：只有兩人是藍眼睛的
   兩個藍眼睛的人看到對方，並不確定c是1還是2，但是由上一種情況，他們知道，如果c = 1，那個藍眼睛的人第一晚就會離島。因此，發現另一個藍眼睛的人仍在島上，他一定能推斷出c = 2，也就意味著他自己也是藍眼睛的。於是，兩個藍眼睛的人都會在第二晚離島。
3. 情況c > 2：一般情況
   逐步提高c時，我們可以看出上述邏輯仍舊適用。如果c = 3，那麼，這三個人會立即意識到有2到3人是藍眼睛的。如果有兩人是藍眼睛的，那麼這兩人會在第二晚離島。因此，如果過了第二晚另外兩人還在島上，每個藍眼睛的人都能推斷出c = 3，因此這三人都有藍眼睛。他們會在第三晚離島。
   不論c為什麼值，都可以套用這個模式。所以，如果有c人是藍眼睛的，則所有藍眼睛的人要用c晚才能離島，且都在同一晚離開。

NO.5
　有棟建築物高100層。若從第N層或更高的樓層扔下來，雞蛋就會破掉。若從第N層以下的樓層扔下來則不會破掉。給你2個雞蛋，請找出N，並要求最差情況下扔雞蛋的次數為最少。 （這樣問會不會好 最少試驗多少次可以找出雞蛋不會被摔碎的最高樓層？）解法 我們發現，無論怎麼扔雞蛋1（Egg 1），雞蛋2（Egg 2）都必須在“破掉那一層”和下一個不會破掉的最高樓層之間，逐層扔下樓（從最低的到最高的）。例如，若雞蛋1從5層和10層樓扔下沒破掉，但從15層扔下時破掉了，那麼，在最差情況下，雞蛋2必須嘗試從11、12、13和14層扔下樓。 具體做法 首先，讓我們試著從10層開始扔雞蛋，然後是20層，等等。  如果雞蛋1第一次扔下樓（10層）就破掉了，那麼，最多需要扔10次。  如果雞蛋1最後一次扔下樓（100層）才破掉，那麼，最多要扔19次（10、20、…、90、100層，然後是91到99層）。 這麼做也挺不錯，但我們只考慮了絕對最差情況。我們應該進行“負載均衡”，讓這兩種情況下扔雞蛋的次數更均勻。 我們的目標是設計一種扔雞蛋的方法，使得扔雞蛋1時，不論是在第一次還是最後一次扔下樓才破掉，次數越穩定越好。 (1) 完美負載均衡的方法應該是，扔雞蛋1的次數加上扔雞蛋2的次數，不論什麼時候都一樣，不管雞蛋1是從哪層樓扔下時破掉的。 (2) 若有這種扔法，每次雞蛋1多扔一次，雞蛋2就可以少扔一次。 (3) 因此，每丟一次雞蛋1，就應該減少雞蛋2可能需要扔下樓的次數。例如，如果雞蛋1先從20層往下扔（不破），然後從30層扔下樓（破），此時雞蛋2可能就要扔9次（從21到29 一次次試）。若雞蛋1再扔一次，我們必須讓雞蛋2扔下樓的次數降為8次。也就是說，我們必須讓雞蛋1從39層扔下樓。 (4) 由此可知，雞蛋1必須從X層開始往下扔，然後再往上增加X-1層……直至到達100層。 (5) 求解方程式X + (X-1) + (X-2) + … + 1 = 100，得到X (X + 1) / 2 = 100 → X = 14。 （直接設要X次，假如X 和X-1這兩次了
則再加X-2 總共還是X次， 次數總為X）我們先從14層開始，然後是27層，接著是39層，依此類推，最差情況下雞蛋要扔14次。 正如解決其他許多最大化/最小化的問題一樣，這類問題的關鍵在於“平衡最差情況”。

NO.6 　
走廊上有100個關上的儲物櫃。有個人先是將100個櫃子全都開啟。接著，每數兩個櫃子關上一個。然後，在第三輪時，再每隔兩個就切換第三個櫃子的開關狀態（也就是將關上的櫃子開啟，將開啟的關上）。照此規律反覆操作100次，在第i輪，這個人會每數i個就切換第i個櫃子的狀態。當第100輪經過走廊時，只切換第100個櫃子的開關狀態，此時有幾個櫃子是開著的？ 解法 要解決這個問題，我們必須弄清楚所謂切換儲物櫃開關狀態是什麼意思。這有助於我們推斷最終哪些櫃子是開著的。 1. 問題：櫃子會在哪幾輪切換狀態（開或關）？ 櫃子n會在n的每個因子（包括1和n本身）對應的那一輪切換狀態。也就是說，櫃子15會在第1、3、5和15輪開或關一次。（i=1開，3關，5開，15關。因子個數：偶數關，奇數開）2. 問題：櫃子什麼時候還是開著的？ 如果因子個數（記作x）為奇數，則這個櫃子是開著的。你可以把一對因子比作開和關，若還剩一個因子，則櫃子就是開著的。 3. 問題：x什麼時候為奇數？ 若n為完全平方數，則x的值為奇數。理由如下：將n的兩個互補因子配對。例如，如n為36，則因子配對情況為：(1, 36)、(2, 18)、(3, 12)、(4, 9)、(6, 6)。注意，(6, 6)其實只有一個因子，因此n的因子個數為奇數。 4. 問題：有多少個完全平方數？ 一共有10個完全平方數，你可以數一數（1、4、9、16、25、36、49、64、81、100），或者，直接列出1到10的平方： 11, 22, 33, …, 1010 因此，最後共有10個櫃子是開著的。