[JOI 2024 Final] 室溫
題意
給出一個長度為 \(n\) 的序列 \(a\)，給出數 \(T\)。
可以進行若干次操作，每次操作可以任選數 \(a_i\)，將 \(a_i \leftarrow a_i - T\)。
可以選定一個數 \(t\)，使得操作完成後 \(\max |a_i-t|\) 最小 。
思路
首先進行操作等價於將 \(a_i \leftarrow a_i \bmod T\)。
然後考慮對於固定的序列 \(a\)，如何選定 \(t\) 使答案最小。
當 \(t = \frac{\min a_i + \max a_i}{2}\) 時，總答案最小。
因為當選定的 \(t = \min a_i\) 或 \(\max a_i\) 時，答案為 \(\max a_i - \min a_i\)。
當 \(t\) 往中間走的時候，答案會變小，最小時就是 \(t\) 取到中點時，答案為極差的一半。
如果除不盡怎麼辦呢？是向上取整還是向下取整？
應該是向上取整，因為除不盡時 \(t\) 一定往左或往右偏一點，較長的為答案，就是向上取整。
現在問題就變為了求出序列最小的極差，除以二向下取整就是答案。
首先想到將 \(a_i \bmod T\) 後排序，\(a_n-a_1\) 就是最小極差，但發現樣例都不過。
發現問題：我可以將 \(a_1\) 到 \(a_i\) 的數少減一個 \(T\)，變為 \(a_1+T\) 到 \(a_i+T\)。
這樣新的極差就變為了 \(a_i+T-a_{i+1}\)，列舉每個 \(i\) 取最小值即可。
注意原始的極差也要統計入答案。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int ans = 1e18, n, t, a[N];
signed main() {
cin >> n >> t;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> a[i], a[i] %= t;
sort(a + 1, a + n + 1);
ans = (a[n] - a[1] + 1) / 2;
for (int i = 1; i < n; i ++)
ans = min(ans, (a[i] + t - a[i + 1] + 1) / 2);
cout << ans;
return 0;
}