[ABC150F] Xor Shift

cxqghzj發表於2024-10-02

題意

給定兩個序列 \(a, b\)，求將 \(b\) 迴圈移位 \(k\) 位，再給所有 \(b_i \oplus x\)，求所有滿足條件的 \((k, x)\)。

\(n \le 2 \times 10 ^ 5\)。

Sol

對於區間異或，容易想到差分。

考慮對 \(a\) 和 \(b\) 分別差分，注意到差分後 \(x\) 直接消失了！

也就是：

  • \(a_0 \oplus a_1 = b_{(0 + k) \mod n} \oplus b_{(1 + k) \mod n}\)
  • \(a_1 \oplus a_2 = b_{(1 + k) \mod n} \oplus b_{(2 + k) \mod n}\)
  • \(a_2 \oplus a_3 = b_{(2 + k) \mod n} \oplus b_{(3 + k) \mod n}\)
  • \(...\)
  • \(a_{n - 1} \oplus a_0 = b_{(n - 1 + k) \mod n} \oplus b_{0} \mod n\)

容易發現對映後的條件的必要性顯然，而充分性的條件剛好是 \(x\) 的取值範圍。

於是原問題變為字串匹配模板，直接 \(\texttt{kmp}\) 即可。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
#include <vector>
#define pii pair <int, int>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
    int p = 0, flg = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') flg = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return p * flg;
}
void write(int x) {
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
bool _stmer;

#define fi first
#define se second

const int N = 2e5 + 5, inf = 2e9;

namespace Kmp {

array <int, N * 3> isl;

void prefix(vector <int> s, int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        isl[i] = isl[i - 1];
        while (isl[i] && s[isl[i] + 1] != s[i]) isl[i] = isl[isl[i]];
        if (s[isl[i] + 1] == s[i]) isl[i]++;
    }
}

} //namespace Kmp

array <int, N> s, h;

bool _edmer;
int main() {
    cerr << (&_stmer - &_edmer) / 1024.0 / 1024.0 << "MB\n";
    int n = read();
    for (int i = 0; i < n; i++) s[i] = read();
    for (int i = 0; i < n; i++) h[i] = read();
    vector <int> str; str.push_back(inf);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        str.push_back(s[i] ^ s[(i + 1) % n]);
    str.push_back(inf);
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
        str.push_back(h[i % n] ^ h[(i + 1) % n]);
    Kmp::prefix(str, str.size() - 1);
    vector <pii> ans;
    for (int i = 2 * n + 1; i < (int)str.size() - 1; i++)
        if (Kmp::isl[i] == n)
            ans.push_back(make_pair((n - (i - n - 1) % n) % n, h[(i - n - 1) % n] ^ s[0]));
    sort(ans.begin(), ans.end());
    for (auto [x, y] : ans) {
        write(x), putchar(32);
        write(y), puts("");
    }
    return 0;
}

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