[ARC146C] Even XOR

cxqghzj發表於2024-10-11

題意

問有多少個由 \([0, 2 ^ n - 1]\) 的整陣列成的集合 \(S\) 的所有 非空 子集 \(T\) 滿足：

  • \(T\) 中的元素數量為奇數或 \(T\) 中元素的異或和不為 \(0\)。

Sol

考慮一個滿足條件的集合 \(S\) 可以滿足什麼性質。

注意到對於一個大小為 \(n\) 的集合 \(S\)，她的奇數大小的子集個數為 \(2 ^ {n - 1}\)，偶數大小的子集個數為 \(2 ^ {n - 1}\)。

對於滿足條件的集合 \(S\)，她的所有的奇數子集的異或和兩兩不同。

若有兩個奇數子集的異或和相同，則將這兩個子集合並，將相同的元素去掉，新子集大小為偶數且異或和為 \(0\)，因此不滿足限制。

由於不同的奇數子集的個數有 \(2 ^ {n - 1}\) 個，而整數只有 \(2 ^ n\) 個，因此 \(|S| \le n + 1\)。

設 \(f_i\) 表示當前集合的大小 \(i\) 的方案數。

  • \(f_i = f_{i - 1} \times (2 ^ n - 2 ^ {i - 2}) \times \frac{1}{i}\)。

\(2 ^ {i - 2}\) 表示前一個集合的奇數子集個數，由於每次選擇下一個數最終是一個排列，所以轉移的時候除以 \(i\)。

複雜度：\(O(n)\)。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
    int p = 0, flg = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') flg = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return p * flg;
}
void write(int x) {
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
bool _stmer;

const int N = 1e5 + 5, mod = 998244353;

int pow_(int x, int k, int p) {
    int ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = 1ll * ans * x % p;
        x = 1ll * x * x % p;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

void Mod(int &x) {
    if (x >= mod) x -= mod;
    if (x < 0) x += mod;
}

array <int, N> f;

bool _edmer;
int main() {
    cerr << (&_stmer - &_edmer) / 1024.0 / 1024.0 << "MB\n";
    int n = read();
    f[0] = 1, f[1] = pow_(2, n, mod);
    int ans = f[0] + f[1]; Mod(ans);
    for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
        f[i] = 1ll * f[i - 1] * (pow_(2, n, mod) - pow_(2, i - 2, mod) + mod) % mod * pow_(i, mod - 2, mod) % mod, ans += f[i], Mod(ans);
    write(ans), puts("");
    return 0;
}

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