agc016D – XOR Replace(圖論 智商)

自為風月馬前卒發表於2018-09-27
GC圖論

題意

題目連結

給出兩個長度為(n)的陣列(a, b)

每次可以將(a)中的某個數替換為所有數(xor)之和。

若(a)陣列可以轉換為(b)陣列，輸出最少操作次數

否則輸出(-1)

Sol

一般那看到這種(N leqslant 10^5)而且不可做的題肯定是先找結論啦

不難看出，我們把所有數(xor)起來的數替換掉之後再次(xor)，得到的一定是被替換掉的數。

實際上，我們可以把xor出來的數放到一個新的位置(N+1)，這樣每次操作就變成了交換第(N+1)個位置的數和任意一個位置(x)的數

總的問題就變成了

給出兩個長度為(N+1)的陣列(a, b)，每次可以在(a)中交換(forall i in [1, n])位置和(N+1)位置的數，問最少交換幾次變為(b)陣列

首先把(-1)的情況判掉，很顯然，把兩個陣列排序後，若存在一個位置不相同，則一定無解

否則一定有解。

到這裡我就不會了。。。。

官方題解非常神仙。

對於(i)位置，若(a_i
ot = b_i)，則向(a_i)到(b_i)連一條邊

最終答案 = 總邊數 + 聯通塊數 – 1

想一想為什麼，對於聯通塊內的點，假設其大小為(x)，我們一定可以通過(x-1)次操作把他們對應的(a)和(b)變的相同

對於不同聯通塊之間，我們還需要一步操作使得第(N+1)個位置的數在兩個聯通塊之間轉化(第一個除外)

對於第(N+1)個位置需要單獨考慮：如果它已經在聯通塊裡則不需要考慮，否則把它看做單獨聯通塊

否則

2
1 3
3 1

可以用並查集維護聯通塊個數

#include<bits/stdc++.h>
const int MAXN = 4e5 + 10;
using namespace std;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < `0` || c > `9`) {if(c == `-`) f = -1; c = getchar();}
    while(c >= `0` && c <= `9`) x = x * 10 + c - `0`, c = getchar();
    return x * f;
}
int N;
int a[MAXN], b[MAXN], ta[MAXN], tb[MAXN], sa, sb, tot = 0, date[MAXN], fa[MAXN];
map<int, bool> ti;
int find(int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}
int unionn(int x, int y) {
    fa[x] = y;
}
int main() {
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = read(), sa ^= a[i]; a[N + 1] = sa;
    for(int i = 1; i <= N; i++) b[i] = read(), sb ^= b[i]; b[N + 1] = sb;
    N++;
    memcpy(ta, a, sizeof(a)); memcpy(tb, b, sizeof(b));
    sort(ta + 1, ta + N + 1); sort(tb + 1, tb + N + 1);
    for(int i = 1; i <= N - 1; i++) if(ta[i] != tb[i]) return puts("-1"), 0;
 
    int ans = 0, num = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) 
        if(a[i] != b[i] || (i == N)) {
            date[++num] = a[i]; date[++num] = b[i];
            if(i < N)ans++;//最後一塊單獨考慮
        }
    if(ans == 0) return puts("0"), 0;
 
    sort(date + 1, date + num + 1);
    num = unique(date + 1, date + num + 1) - date - 1;
    for(int i = 1; i <= num; i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        if(a[i] != b[i]) {
            a[i] = lower_bound(date + 1, date + num + 1, a[i]) - date,
            b[i] = lower_bound(date + 1, date + num + 1, b[i]) - date;
            if(!ti[a[i]]) ti[a[i]] = 1;
            if(!ti[b[i]]) ti[b[i]] = 1;
            unionn(find(a[i]), find(b[i]));
        }
        
    for(int i = 1; i <= num; i++)
        if(fa[i] == i) ans++;
    printf("%d", ans - 1);
 
    return 0;
}

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