10244圖論

圖論是近年來發展迅速而又應用廣泛的一門新興學科。它最早起源於一些數學遊戲的難題研究。如1736年尤拉（L . Euler)所解決的哥尼斯堡七橋問題；以及在民間廣為流傳的一些遊戲問題：例如迷宮問題、棋盤上馬的行走路線問題等等。   這些古老的問題當時吸引了許多學者的注意，從而在這些問題研究的基礎上，又提出了著名的四色猜想和環遊世界各國的問題。   圖論不斷髮展，它在解決運籌學，網路理論，資訊理論，控制論，博奕論以及電腦科學等各個領域的問題時，顯示出越來越大的效果。   對於這樣一門應用廣泛的學科，其包含的內容是豐富的，本篇我們只准備介紹基本的概念和定理，為今後有關學科及課程的學習和研究提供方便。

 

1.圖

 1.1定義

定義：一個圖 G 是一個三元組< V(G) , E(G) , Φ_G >
       其中 V(G) 是非空的結點（頂點）集合，

　　E(G) 是邊的集合，

　　Φ_G 是從邊集 E 到結點偶對集合上的函式。

 

討論定義：
(1) V(G) ={ v1 , v2 , … , vn }是非空的結點集合，vi 稱為結點，簡稱V是點集。

(2) E(G)={e1 , … , em}為邊的集合，ei 稱為邊，簡稱 E 為邊集。

(3) Φ_G 是從邊集 E 到結點偶對集合上的函式。即對於每條邊 ei ，都存在V中的結點偶對與之相對應。

　　例如       Φ_G (ei) = (vi , vj)

(4) 定義中的結點偶對可以是有序偶對 <vi , vj> ，也可以是無序偶對 (vi , vj) 。

　　①若邊 e 對應有序偶對 <vi , vj> ，則稱邊 e 是有向邊（弧），

    　　 結點 vi 稱為有向邊的起點，結點 vj 稱為有向邊的終點，統稱為 e 的端點。

　　　  也稱 e 是關聯於結點vi 和 vj 的，結點vi 和 vj 是鄰接的（相鄰的）。

　　②若邊 e 對應無序偶對 (vi , vj)，則稱邊 e 是無向邊（稜）。

(5) 每條邊都是有向邊的圖，稱為有向圖；
　  每條邊都是無向邊的圖，稱為無向圖。
(6) 若令 e＝ <vi , vj> 或 e＝ (vi , vj)，即以結點偶對來表示圖的邊，這樣可把圖簡化成：
      Ｇ＝<Ｖ,Ｅ >.

 

 

專有名詞：

(1) ( n , m) 圖：具有 n 個結點，m 條邊的圖。

(2)有向完全圖：在 n 個結點的有向圖
　　G = <V , E> 中，如果 E＝V×V，則稱G為有向完全圖。

 例如

 

注：對於有向簡單完全圖：其有向邊條數 m＝ 2 C_n² ＝ n(n-1)  （除去自迴路）

(3)無向完全圖：每兩個結點之間均有連線的無向圖。
    具有 n 個結點的無向完全圖的邊數為：m＝ C_n² ＝ n(n-1)/2

例如

(4)混合圖：既有有向邊，又有無向邊的圖。
(5)互相鄰接的邊：連線於同一結點的二條（或若干條）邊。

 例如

 

 

(6) 自迴路：圖中起始且終止於同一結點的邊。
(自迴路的箭頭方向是沒有意義的 )

(7)多重邊（平行邊）：二個結點之間方向相同的二條（多條）邊。

 例如

 

（8）含有多重邊的圖稱為多重圖，非多重圖稱為線圖。

  例如

 

 

 

(9) 簡單圖：無自迴路的線圖稱為簡單圖。
　　             即簡單圖是沒有自迴路和多重邊的圖。

(10) 賦權圖Ｇ是一個三元組〈V , E , g〉或四元組〈V , E , f , g 〉，
其中 V 為結點集合，E 為邊的集合，f 是定義在集合 V上的函式，g 是定義在集合 E 上的函式。

實際上，賦權圖可以用一句話概括：每一條邊或結點均註上數字的圖（數字可以為整數、正實數）

 

(11)孤立結點：不與任何結點相連線的結點。
(12)零圖：僅包含孤立結點的圖，記為 ( n , 0 ).
(13)平凡圖：只有一個結點的圖（1 , 0）.

 

1.2節點的次數

1.2.1定義

在有向圖 G 中，對於任何結點 v，
①以 v 為始點的邊的條數，稱為結點 v 的引出次數（出度），記作 deg⁺(v) ；
②以 v 點為終點的邊的條數稱為 v 的引入次數（入度），記作 deg^-(v) ；
③結點 v 的引入次數和引出次數之和稱為結點 v 的次數（度數），記作 deg(v)，即
deg(v) = deg⁺(v) + deg^-(v) .

 

對於無向圖：

結點 v 的度數等於與該結點 v 相關聯的邊的條數，也記為 deg(v) 。

 

正則圖：所有結點的度數均相同的簡單無向圖。

例如

 

 1.2.2定理

定理1

設 G 是一個 (n , m) 圖，它的結點集合為 V ={ v1 , v2 , … , vn } ，則

即所有結點度數的總和等於邊數的兩倍。

 

推論：

在任何圖中，
(1) 所有結點的度數之和必為偶數；
(2) 度數為奇數的結點必有偶數個。

 

定理2

在任何有向圖中，所有結點的入度之和等於所有結點的出度之和。

 

1.3路與迴路

1.3.1路徑

定義：

在一個圖中，從結點 v0 到結點 vn 的一條路徑 P 是：圖的一個點邊交替序列
（ v0 e1 v1 e2 v2 … en vn ）。
即從結點 v0 出發經過某些結點，而最終到達終點 vn 的點邊交替序列稱為圖的路徑。

討論定義：
⑴ 從一個結點到某一結點的路徑（若有的話），不一定是唯一的；

例如：設有向圖Ｇ，求起始於１，終止於３的路徑。

 

專有名詞：

(1)穿程全部結點的路徑：經過圖中所有結點的路徑。
(2)簡單路徑：在某一路徑中，如果同一條邊僅出現一次的路徑。
(3)基本路徑：在某一路徑中，如果同一頂點僅出現一次的路徑。

(4)迴路：如果某路徑的起點 v0 和終點vn 相重合，則稱此路徑為迴路。
(5)簡單迴路：通過每條邊不超過一次的迴路。
(6)基本回路：通過每個結點不超過一次的迴路。
(7)非迴路圖：沒有任何迴路的簡單有向圖。

討論：

①迴路不包含自迴路。
②不是基本路徑的任何路徑都會包含迴路，而去掉這些迴路就可以得到基本路徑。

 

1.3.2路徑的表示方法

(a)邊的序列表示法：設G = <V , E> 為一有向圖，vi ∈ V ，則路徑可以表示成：
      (< v1 , v2 > , < v2 , v3 > , … , < vk-1 , vk >)
(b)結點表示法： 在非多重圖中，也可用頂點序列 (v1 , v2 , … , vk ) 表示路徑。

1.3.3路徑長度

 若兩個結點之間有一條路經Ｐ，則路徑 P 的長度|Ｐ|＝Ｐ中邊的條數。

 

1.4圖的性質

1.4.1可達性

定義： 

設圖Ｇ為簡單有向圖，且 vi , vj V，若從 vi 到 vj 存在任何一條路徑的話，則稱 vi 到 vj 是可達的

 注：

可達性一定滿足：自反性；可傳遞性

 

定義：

 從 vi 到 vj 的最短路徑的長度稱為距離，並記作： d<vi , vj> 

討論定義：
(1) d<vi , vi> = 0
(2) d<vi , vj> ≥ 0
(3) d<vi , vj> + d<vj , vk> ≥ d<vi , vk>
(4)規定：若 vi 到 vj 是不可達的，則d<vi , vj> = ∞.
(5) 在有向圖中，若 vi 到 vj 是可達的，且 vj 到 vi 也是可達的，
     但 d<vi,vj> 不一定等於 d<vj, vi>。

例如

d< c, a > = 1,
d< a, c > = 2

 

1.4.2聯通性

定義：

 對於無向圖 G，如果任何兩個結點是相互可達的，則稱圖G是連通的

 對於有向圖來講，如果兩結點均是互相可達的，則稱此圖是強連通的

 若圖中任何結點偶對中至少有一點到另一結點是可達的，則稱此圖是單側連通的

 對於簡單有向圖的伴隨無向圖（底圖），若是連通的，則稱此圖為弱連通的

注：伴隨無向圖即為去掉箭頭方向的圖。

 定理：

一個有向圖是強連通的充要條件是它包含一個迴路，且該回路至少包含每個結點一次

 

定義：

設G = <V , E>為一簡單有向圖，且Ｇ’是Ｇ的子圖。

對於某一性質而言，若沒有其他包含Ｇ’的子圖具有這種性質，

則稱子圖Ｇ’是相對於該性質的極大子圖。

具有強連通性質的極大子圖Ｇ’稱為強分圖；
具有單側連通性質的極大子圖Ｇ’稱為單側分圖；
具有弱連通性質的極大子圖Ｇ’稱為弱分圖。

定理：

在任一簡單有向圖Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞中，有向圖的每一個結點恰好處於一個強分圖之中。

 

1.5圖的矩陣表示

矩陣是研究圖的有關性質的最有效的工具，可運用圖的矩陣運算求出圖的路徑、迴路和其它一些性質

1.5.1圖的鄰接矩陣表示

定義：

設G = <V , E>是簡單有向圖，其中V={v1, v2, … , vn}。定義一個 nn 的矩陣 A，並把其中各元素 aij 表示成：

則稱矩陣 A 為圖 G 的鄰接矩陣。

例如：設圖 G = <V , E>
如圖所示

則圖 G 的鄰接矩陣為

 

討論定義：

⑴ 圖G的鄰接矩陣中的元素為0和1，
∴又稱為布林矩陣；

⑵ 圖G的鄰接矩陣中的元素的次序是無關緊要的，

只要做 行和行、列和列的交換，則可得到相同的矩陣。

∴若有二個簡單有向圖，則可得到二個對應的鄰接矩陣，

若對某一矩陣做行和行、列和列之間的交換後得到和另一矩陣相同的矩陣，則此二圖同構。

⑶ 當有向圖中的有向邊表示關係時，鄰接矩陣就是關係矩陣；
⑷ 零圖的鄰接矩陣稱為零矩陣，即矩陣中的所有元素均為0；

⑸ 在圖的鄰接矩陣中，
①行中1的個數就是行中相應結點的引出次數（出度）.
②列中1的個數就是列中相應結點的引入次數（入度）.

 

1.5.2 矩陣的計算

設有向圖 G = <V , E>的鄰接矩陣為 A，

則G的逆圖 = <V , > 的鄰接矩陣就是 A^T。

 

 

1.5.2.1AA^T 的元素的意義

設有向圖 G = <V , E> 的鄰接矩陣為 A，並令 B = AA^T，則

 

分析：元素 a_ik = 1 意味著存在邊<vi , vk> .
　　元素 a_jk = 1 意味著存在邊<vj , vk> .

結論：如果從結點 vi 和 vj 兩者引出的邊，能共同終止於某些結點 vk ，則這些終止結點 vk 的數目就是 bij 的值，

　　特別地，當 i = j 時，元素 b_ii 的值就是結點 vi 的引出次數。

 

主對角線上的數，表示結點 i 的引出次數。

1.5.2.2A^TA 的元素的意義

設有向圖 G = <V , E> 的鄰接矩陣為 A，並令 B = A^TA，則

 

分析：元素 aki = 1 意味著存在邊<vk , vi> .
　　元素 akj = 1 意味著存在邊<vk , vj> .

結論：如果從某些結點 vk引出的邊，能同時終止於結點 vi 和 vj ，則這些起始結點 vk 的數目就是 bij 的值，

　　特別地，當 i = j 時，元素 b_ii 的值就是結點 vi 的引入次數。

 

主對角線上的數，表示結點 i 的引入次數

 1.5.2.3A⁽ⁿ⁾ 的元素的意義

 設有向圖 G = <V , E> 的鄰接矩陣為  A = ( a_ij )，則 A⁽²⁾ 的元素

分析：元素 aik = 1 意味著存在邊<vi , vk> .
　　元素 akj = 1 意味著存在邊<vk , vj> .

所以，元素 a_ij⁽²⁾ 的值表示從結點 vi 到 vj 存在長度為 2 的不同路徑的條數。

結論： A⁽ⁿ⁾ 的元素 a_ij⁽ⁿ⁾ 的值表示從結點 vi 到 vj 存在長度為 n 的不同路徑的條數。
特別，對角線上的元素 a_ii⁽ⁿ⁾ 表示經過結點 vi的長度為 n 的不同迴路的條數。

 例如

A² 表示 i 和 j 之間具有長度為2的路徑數

A³ 表示 i 和 j 之間具有長度為3的路徑數

A⁴ 表示 i 和 j 之間具有長度為4的路徑數

 

1.5.2.4可達性矩陣

 

注：bij 表示從結點 vi 到 vj 有長度分別為 1，2，3，4 的不同路徑總數。
此時， bij ≠ 0，表示從 vi 到 vj 是可達的。
bij = 0，表示從 vi 到 vj 是不可達的。因此， bij 表明了結點間的可達性。

 定義：

設 G = <V , E> 是簡單有向圖，其中 |V|=ｎ（ n  I+），定義一個 nn 矩陣 P，它的元素為：

則P稱為圖G的可達性矩陣。

 

注：由矩陣 B_n 可計算出可達性矩陣 P，其方法是：若 B_n中（i , j）元是非“0”元素，則令對應的 p_ij = 1，否則令 p_ij = 0 。

 例如：若

 

則

 

1.5.2.5可完全關聯矩陣

 定義：

設無向圖G = <V , E> ，
V = {v1 , v2 , … , vn}， E = {e1 , e2 , … , em}，
令 B = ( bij )_n×m，其中

 

則稱B為無向圖G的完全關聯矩陣

討論定義：

⑴ 完全關聯矩陣為布林矩陣；
⑵ 對應B中行均為0的結點為孤立結點，只有一個“1”的行的結點一定為懸掛的邊，且一定不在任一回路中；
⑶ 全部為1的行的結點必定聯結圖中所有的結點。

例如

 

 

1.6特殊圖

1.6.1尤拉圖

定義：

尤拉路徑：穿程於圖 G 的每條邊一次且僅一次的路徑。
尤拉回路：穿程於圖 G 的每條邊一次且僅一次的迴路。
尤拉圖：具有尤拉回路的圖。

 

定理：

 無向連通圖 G 具有一條尤拉路徑，當且僅當 G 具有零個或兩個奇數度數的結點。

推論：

無向連通圖 G 具有一條尤拉回路（尤拉圖），當且僅當圖G 所有結點度數全為偶數。

例如：用定理解決哥尼斯堡橋的問題

 

 

定理：

有向連通圖 G 具有尤拉回路，當且僅當 G中每一個結點的引入次數等於引出次數，即Deg⁺(v)＝ Deg^-(v) .

 

 定理：

有向連通圖 G 具有尤拉路徑，當且僅當除了二個結點（其中一個的引入次數比引出次數大１，

另一個的引入次數比引出次數小１）以外的所有結點的引入次數等於引出次數，即Deg⁺(v)＝ Deg^-(v) .

 

 1.6.2 哈密爾頓圖

定義

哈密爾頓路徑：穿程於無向圖 G 的每一個結點一次且僅一次的路徑。
哈密爾頓迴路：穿程於無向圖 G 的每一個結點一次且僅一次的迴路。
哈密爾頓圖：具有哈密爾頓迴路的圖。

到目前為止，還沒有找到哈密爾頓路徑存在的充分必要條件。下面介紹兩個定理。

 

定理：

設 G = < V , E > 是具有n 個結點的簡單無向圖，若在 G 中每一對結點次數之和大於或等於(n-1)，

則在 G 中一定存在一條哈密爾頓路徑。

 注：此定理是充分條件，而不是充分必要條件

例如：ｎ＝７，G = <V , E > 見圖：每對結點次數為４<７－１＝６，但確有一條漢密爾頓路徑。

 

定理:

若圖 G = < V , E > 是哈密爾頓圖，則對於結點集 V 的每個非空真子集 S 均有
W( G ―S ) ≤ |S| 成立，
其中 W(G－S) 表示從G中刪除S後，所得圖的連通分圖個數； |S| 表示 S 中的結點數。

 

2.樹與生成樹

2.1無向樹（樹）

2.1.1定義

連通的且無簡單迴路的無向圖稱為無向樹，簡稱樹

 

專用名詞：
樹葉(終點)：樹中度數為1的結點。
分枝點(內點)：樹中度數大於1的結點。
森林：每個連通分圖均為樹的無向圖。

2.1.2樹的性質

設T是一棵樹，vi，vj 為T中兩個不同的結點，則：
1) vi 和 vj 僅有一條路徑相連通。
2) 在T中加一條邊{ vi , vj }，則由此而形成 的圖，僅有一個迴路。

 

在一棵(n , e)樹中有e=n-1。(n表示結點數，e表示邊數)

設F是由 t 棵樹組成的(n , e)森林，則有e=n-t。

 

在結點大於2的(n , e)樹中，所有結點的度數之和為2(n-1)

 

在任一(n ≥ 2)的樹T中，至少有二片樹葉。

 

2.2生成樹

2.2.1定義

一個無向圖G的生成子圖是樹TG，則稱TG是G的生成樹(支撐樹)。

討論定義：

1) G的生成樹不是唯一的。

2)如何在連通圖G中尋找一棵生成樹：

①若G沒有迴圈，則G本身就是一棵樹；

②若G僅有一條迴圈，從此迴圈中刪去一條邊，仍保持圖的連通性，得到一棵生成樹。

③若G有多條迴圈，則逐個對每條迴圈重複②中操作，直到打斷G中所有迴圈，得到一棵生成樹為止。

 

定理：

任何連通無向圖至少有一棵生成樹

給定一個連通圖，尋找其生成樹的數目是圖論中樹的計數問題

含 n （n>1）個結點的標記完全圖K_n 有 n^n-2 棵標記生成樹

 

定義：

生成樹T中的邊稱為樹枝，不在生成樹T中但屬於圖G的邊，稱為樹T的弦，弦的集合稱為樹T的補。

在一個連通賦權圖中，樹枝的權之和為最小的生成樹稱為最小生成樹。

 

Kruskal演算法：

設G有n個結點，m條邊，先將G中所有邊按權的大小次序進行排列，不妨設：

W(e1) < W(e2) < … < W(e_m)，

①k←1，A←Ø。

②若AU{ek}匯出的子圖中不包含簡單迴圈，則A ← A U{ek}

③若A中已有n-1條邊，則演算法終止，否則K← K+1，轉至②。

這一演算法假設G中權均不相同，對於邊權任意情況也完全適用。這時求得的最小生成樹不唯一

 

2.3有向樹與根樹

定義：

若有向圖在不考慮邊的方向時是一棵樹，稱之為有向樹。

定義：

一棵有向樹，如果恰有一個結點的入度為0，其餘所有結點的入度都為1，則稱為根樹。入度為0的結點稱為根，出度為0的結點稱為葉，出度不為0的結點稱為分枝點或內點。任何結點的級(高度)是從根出發到該結點的路徑長度(邊的條數)。

定義：

指明瞭根樹中結點或邊的次序的樹為有序樹。在有序樹中，如每個結點有明確級，同一級的結點排在同一行，並明確它們位置，則這樣的樹稱位置樹

定義：

在根樹中，若每一個結點的出度小於或等於m，則稱這棵樹為m叉樹。若每個結點的出度恰好等於m或零，則稱這棵樹為完全m叉樹，若其所有樹葉層次相同，稱為正則m叉樹。

特別，當m=2時，稱為二叉樹。

很多實際問題可用二叉樹或m叉樹表示。任何一棵有序樹都可以把它改寫為一棵對應的二叉樹。

定義：

在有向樹T中，由結點V和它的所有子孫所構成的結點子集V’以及從V出發的所有有向路中的邊所構成的邊集E’組成T的子圖

方法：

設有序樹T中結點Vi 的r棵子樹有根Vi1, Vi2 , …, Vir，其順序自左向右，則在二叉樹T’中Vi1是Vi 的左兒子，Vi2是Vi1的右兒子，Vi3是Vi2的右兒子….，Vir是Vir－1的右兒子。