圖論——拓撲排序

1、什麼是拓撲排序

（1）有向圖的拓撲序列

有向圖的拓撲序列是該有向圖的一個頂點序列，該序列滿足條件：對圖中任意頂點i、j，若從頂點i到頂點j存在一條路徑，則在序列中頂點i必須排在頂點j的前面。

（2）拓撲排序

在一個有向圖中找一個拓撲序列的過程稱為拓撲排序。

2、拓撲排序的應用

拓撲排序常用來確定一個依賴關係集中，事物發生的順序。例如，在日常工作中，可能會將專案拆分成A、B、C、D四個子部分來完成，但A依賴於B和D，C依賴於D。為了計算這個專案進行的順序，可對這個關係集進行拓撲排序，得出一個線性的序列，則排在前面的任務就是需要先完成的任務。

注意：一個有向圖的拓撲序列不是唯一的！就好像你早上穿衣服可以先穿上衣也可以先穿褲子，只要裡面的衣服在外面的衣服之前穿就行。

3、拓撲排序演算法的實現

拓撲排序的基本思想是，每次尋找圖中一個入度為0的頂點輸出，然後刪除該頂點指向的邊，依次尋找剩餘頂點，直到沒有入度為0的頂點為止。演算法的執行步驟如下：

①尋找圖中一個入度為0的頂點輸出，然後刪除該頂點指向的邊。

②重複步驟①，直到沒有入度為0的頂點為止。

程式碼實現：

#define N 100
typedef char ElemType;

/*
拓撲圖的鄰接矩陣宣告
*/
typedef struct _MGraph
{
	int n;
	ElemType vertexes[N];
	int edges[N][N];
}MGraph;

/*
拓撲排序：生成拓撲圖第一個拓撲序列
g：拓撲圖的鄰接矩陣
*/
void TopSort(MGraph &g)
{
	int *count = new int[g.n]();
	for (int i = 0; i < g.n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
				count[j]++;
		}
	}
	queue<int> q;
	for (int i = 0; i < g.n; i++)
	{
		if (count[i] == 0)
			q.push(i);
	}
	while (!q.empty())
	{
		int i = q.front();
		cout << g.vertexes[i];
		q.pop();
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
			{
				count[j]--;
				if (count[j] == 0) q.push(j);
			}
		}
	}
	delete[] count;
}

4、測試

求如下圖所示的有向圖的全部可能的拓撲序列。

樣例輸入：

6 6
0 1 2 3 4 5
0 1
1 2
2 3
4 1
4 5

5 3

樣例輸出：

041523
041253
045123
405123
401523
401253

450123

測試程式碼：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

#define N 100
typedef char ElemType;

/*
拓撲圖的鄰接矩陣宣告
*/
typedef struct _MGraph
{
	int n;
	ElemType vertexes[N];
	int edges[N][N];
}MGraph;

/*
拓撲排序：生成拓撲圖第一個拓撲序列
g：拓撲圖的鄰接矩陣
*/
void TopSort(MGraph &g)
{
	int *count = new int[g.n]();
	for (int i = 0; i < g.n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
				count[j]++;
		}
	}
	queue<int> q;
	for (int i = 0; i < g.n; i++)
	{
		if (count[i] == 0)
			q.push(i);
	}
	while (!q.empty())
	{
		int i = q.front();
		cout << g.vertexes[i];
		q.pop();
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
			{
				count[j]--;
				if (count[j] == 0) q.push(j);
			}
		}
	}
	delete[] count;
}

void TopSortInit(MGraph &g, int count[], vector<int> &v)
{
	memset(count, 0, sizeof(int) * g.n);
	for (int i = 0; i < g.n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
				count[j]++;
		}
	}
	for (int i = 0; i < g.n; i++)
	{
		if (count[i] == 0)
		{
			v.push_back(i);
		}
	}
}

void TopSort(MGraph &g, int count[], vector<int> &v, vector<ElemType> &result)
{
	if (v.size() == 0)
	{
		for (vector<ElemType>::iterator iter = result.begin(); iter != result.end(); iter++)
			cout << *iter;
		cout << endl;
	}
	for (vector<int>::iterator iter = v.begin(); iter != v.end(); iter++)
	{
		int i = *iter;
		vector<int> v_new = v;
		result.push_back(g.vertexes[i]);
		v_new.erase(iter - v.begin() + v_new.begin());
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
			{
				count[j]--;
				if (count[j] == 0) v_new.push_back(j);
			}
		}
		TopSort(g, count, v_new, result);
		result.pop_back();
		for (int j = 0; j < g.n; j++)
		{
			if (g.edges[i][j] > 0)
			{
				count[j]++;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int n, m;
	while (cin >> n >> m)
	{
		//輸入資料
		MGraph g;
		g.n = n;
		for (int i = 0; i < g.n; i++)
			cin >> g.vertexes[i];
		for (int i = 0; i < g.n; i++)
			for (int j = 0; j < g.n; j++)
				g.edges[i][j] = 0;
		for (int cnt = 0; cnt < m; cnt++)
		{
			int u, v;
			cin >> u >> v;
			g.edges[u][v] = 1;
		}
		//求出第一個拓撲序列
		//TopSort(g);
		//求出所有可能的拓撲序列
		int *count = new int[g.n];
		int *visited = new int[g.n];
		vector<int> v;
		vector<ElemType> r;
		TopSortInit(g, count, v);
		TopSort(g, count, v, r);
		delete[] count, visited;
	}
	//while (1) cin.get();
	return 0;
}

參考資料

[1] 李春葆.資料結構教程.清華大學出版社，2013.

[2]拓撲排序.百度百科.