基本概念

有向無環圖（DAG）

如何用有向無環圖（DAG，Directed Acyclic Graph） 來表示偏序關係？

• 設 $R$ 是有窮集合 $X$ 上的偏序關係，對 $X$ 中每個 $v$，用一個以 $v$ 為標號的頂點表示，由此構成頂點集 $V$；對任意 $(u,v)\in R,(u\ne v)$（嚴格偏序或反自反偏序關係），由對應兩個頂點建立一條有向邊，由此構成邊集 $E$, 則 $G=(V,E)$ 是有向無環圖。

拓撲排序

拓撲排序（Topological Sorting）：是由某個集合上的一個偏序關係得到該集合上的一個全序的過程，所得到的線性序列稱為拓撲序列（Topological order）。

在圖論中，拓撲排序是一個有向無環圖的所有頂點的線性序列，且該序列必須滿足下面兩個條件：

• 每個頂點出現且只出現一次；
• 若存在一條從頂點 A 到頂點 B 的路徑，那麼在序列中頂點 A 出現在頂點 B 的前面；

AOV 網

AOV 網就是一種有向無環圖。

一個較大的工程往往被劃分成許多子工程，在整個工程中，有些子工程（活動）必須在其它有關子工程完成之後才能開始，也就是說，一個子工程的開始是以它的所有前序子工程的結束為先決條件的，但有些子工程沒有先決條件，可以安排在任何時間開始。

為了形象地反映出整個工程中各個子工程（活動）之間的先後關係，可用一個有向圖來表示，用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關係，稱這樣的有向圖為頂點表示活動的網，簡稱 AOV 網。

• AOV 網中的弧表示活動之間存在的某種制約關係。
• 一個 AOV 網應該是一個有向無環圖，即不應該帶有迴路，因為若帶有迴路，則迴路上的所有活動都無法進行。

其實 AOV 網就體現了各個子工程之間的一種偏序關係。在 AOV 網中所有活動可排列成一個線性序列，使得每個活動的所有前驅活動都排在該活動的前面，我們把此序列叫做拓撲序列，由AOV網構造拓撲序列的過程叫做拓撲排序。

AOV網的拓撲序列不是唯一的，滿足上述定義的任一線性序列都稱作它的拓撲序列。

DAG 拓撲排序演算法

課程及課程間的先修關係是偏序關係，可以用 AOV 網（DAG）表示。

利用 AOV 網進行拓撲排序的基本思想:

• (1) 從 AOV 網中選擇一個沒有前驅的頂點並且輸出它；
• (2) 從 AOV 網中刪去該頂點和所有以該頂點為尾的弧；
• (3) 重複上述兩步，直到全部頂點都被輸出，或AOV網中不存在沒有前驅的頂點；

廣搜優先搜尋實現拓撲排序

演算法過程——可以使用廣度優先搜尋演算法（使用佇列）：

• （1）建立入度為零的頂點佇列；

• （2）掃描頂點表，將入度為0的頂點入隊（初始化）；

• （3）while(佇列不空)

  • （3.1）輸出隊頭結點；
  • （3.2）記下輸出結點的數目；
  • （3.3）刪去與之關聯的出邊；
  • （3.4）若有入度為 0 的結點，入隊。

• （4）若輸出結點個數小於 $n$，則輸出有環路；否則拓撲排序正常結束。

注意事項：

• 若圖中還有未輸出的頂點，但已跳出迴圈處理，說明圖中還剩下一些頂點，它們的入度都大於 0，也就是都有直接前驅，這時網路中必存在有向環。

與廣度優先搜尋的區別：

• 搜尋起點是入度為 0 的頂點；
• 需判斷是否有環路，看最後輸出的頂點數與圖中頂點數是否相同；
• 需刪除鄰接於 v 的邊（引入陣列 indegree[ ] 或在頂點表中增加一個屬性域 indegree）

虛擬碼如下：

void Topologicalsort(AdjGraph G)
{ 
    QUEUE Q ; 
    count = 0 ;
    MAKENUlLL(Q) ;

    for(v=1; v<=G.n; ++v)
        if(indegree[v] ==0) 
            ENQUEUE(v, Q) ;
    while(!EMPTY(Q)) {
        v = FRONT(Q) ;
        DEQUEUE(Q) ;

        cout << v << " ";  // 廣度優先搜尋中，入佇列時訪問或出佇列時訪問是一樣的
        count ++ ;

        for(鄰接於 v 的每個頂點 w)
            if(!(--indegree[w])) 
                ENQUEUE(w,Q) ;
    }
    if(count < n) 
        cout << “圖中有環路” ;
}

深度優先搜尋非遞迴實現拓撲排序

也可以使用深度優先搜尋來獲取拓撲序列，遞迴或非遞迴實現均可。

在深度優先搜尋的非遞迴實現中，需要用到棧：

• （1）建立入度為零的頂點棧；

• （2）掃描頂點表,將入度為0的頂點棧；

• （3）while(棧不空)

  • （3.1）輸出隊頭結點；
  • （3.2）記下輸出結點的數目；
  • （3.3）刪去與之關聯的出邊；
  • （3.4）若有入度為0的結點，入棧；

• （4）若輸出結點個數小於 $n$，則輸出有環路；否則拓撲排序正常結束。

虛擬碼如下：

void Topologicalsort(AdjGraph G)
{ 
    STACK S ; 
    count = 0 ;
    MAKENUlLL(S) ;

    for(v=1; v<=G.n; ++v)
        if(indegree[v] == 0) 
            PUSH(v, S) ;
    while(!EMPTY(S)) {
        v = top(S) ;
        S.pop() ;

        cout << v << " ";  // 深度優先搜尋中，必須在出棧時訪問
        count ++ ;

        for(鄰接於 v 的每個頂點 w)
            if(!(--indegree[w])) 
                PUSH(w,S) ;
    }
    if(count < n) 
        cout << “圖中有環路” ;
}

深度優先搜尋遞迴實現拓撲排序

待補。