拓撲排序小結

首先來理解什麼是拓撲排序；拓撲排序簡單說是做事情的先後順序，在現實生活中,人們經常要做連串事情，這些事情之聞有順序關係或者依賴關係，在做一件事情之前必須先做另一件事，比如安排客人的座位、穿衣服的先後、課程學習的先後等。這些事情都可以抽象為圖論中的拓撲排序。

拓撲排序的概念：
設有a、b、c、d等事情,其中a有最高優先順序,b、c優先順序相同,d是最低優先順序，表示為a→(b,c)→d,那麼abcd或acbd都是可行的排序。把事情看成圖的點，把先後關係看成有向邊，問題轉化為在圖中求一個有先後關係的排序這就是拓撲排序，顯然，一個圖能進行拓撲排序的完要條件是它是一個有向無環圖(DAG)。有環圖不能進行拓撲排序，

當然，這裡還要普及兩個圖的簡單概念：

出度：從一個點為起點的出去的邊的數量為出度；

入度：以一個點為終點出去的邊的數量為出度。

從入度和長度的概念上可以看出，如果一個點的入度數量為0，那這個點必定是最前面的點，如果出度等於0，則這個點必定又是最後面的點；

同時，拓撲排序是基於bfs和dfs的思想實現的，我們就來普及一下對於bfs與dfs拓撲排序的實現方式；

1.bfs：

bfs拓撲排序是常用的拓撲排序演算法，這個演算法是基於佇列來實現的

而實現的思想，則是基於無前驅的頂點優先和無後繼的頂點優先

1.無前驅的頂點優先：

以此圖為例，

實現的步驟主要是：

（1）先找圖中入度為0的點，作為起點放進佇列，當然，這些點的先後順序是無所謂的，主要是得有，如果找完一圈都沒有發現圖紙有度為0的點，那這個圖就不是DAG圖，不存在拓撲排序；

（2）在找完圖中入度為0的節點之後，我們彈出隊首元素，並且將隊首元素的鄰居的度都減一，把度減為0的鄰居放進佇列

（3）重複以上步驟，直到佇列為空；

拿上圖來說，會輸出acbd，這就是上圖的拓撲序列；

當然，如果佇列空了，但是依舊是還有別的點沒有進入佇列，那這個圖就不DAG，也就不存在脫坡序列；

2.無後繼頂點優先：

將無前驅節點優先的執行反過來就是無後繼頂點優先的執行。

2.基於dfs的拓撲排序

dfs是天然的拓撲排序思想的體現，dfs的原理就是一條路走到黑，一直搜素到最後，然後逐層回退，正是點與點的先後關係。

一個DAG，如果只有一個點是0入度的，從這個點開始拓撲排序，返回的順序是逆序的拓撲排序，

因為遞迴返回的是最後的點，這裡就沒有後繼點了，逐層回退，最後到起點

 

 為了得到正序的拓撲序列，資料結構中有一個專門對付逆序的線性結構---那就是棧，用棧記錄拓撲序列在輸出就可以得到正確的拓撲序列；

但是依舊是有一些細節問題：

(1)應該以入度為0的點為起點開始DFS.如何找到它?需要找到它嗎?如果有多個入度為0的點呢?
這幾個問題其實並不用特別處理。想象有一個虛擬的點 v,，它單向連線到所有其他點。這個點就是圖中唯一 的0入度點，圖中所有其他的點都是它的下一層遞迴，而且它不會把原圖變成環路。從這個虛擬點開始DFS就完成了拓撲排序。但運算的時候並不需要處理這個虛擬點，只要在主程式中把每個點輪流執行一 DFS可這樣做相當於顯式地道歸了虛點的所有下一層點，

(2)如果圖不是DAG,能判斷嗎?
圖不是DAG，說明圖是有環圖，不存在拓撲排序。(那麼在遞迴的時候會出現回退邊)
在程式中這樣發現回退邊:記錄每個點的狀態,如果dfs遞迴到某個點時發現它仍在前面的遞迴中沒有處理完畢，說明存在回退邊，不存在拓撲排序:

還要一些雜項問題：

輸出字典序最小的拓撲排序；

這種題目比如杭電1285和北大1270都有體現；

解決這裡問題，核心是在當前步驟，在所有入度為0的點中輸出編號最小的，

這裡我們不用next_permutation();

這裡採用的是優先佇列：

在bfs拓撲排序中，把普通佇列改為優先佇列，放進入度為0的節點，每次輸出最小編號........就是重複bfs拓撲排序的步驟啦

題目實戰：https://www.dotcpp.com/oj/problem1707.html

這道題前面我已發部落格：https://www.cnblogs.com/LQS-blog/p/16207985.html

來個重量級的:

https://www.acwing.com/problem/content/description/166/

友情提示，這道題不太好做，慎入；

這裡只給出程式碼，今天很晚了，以後找時間專門出篇部落格：

 

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int num=30010; 
queue<int>q;
int n,m;
vector<int>edge[num];//存圖
vector<int>topo;//拓撲序列
int in[num];//入度陣列
bitset<num>f[num];//是標準庫中的一個固定大小序列，其儲存的資料只包含 0/1
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(register int i=0;i<m;i++)//常規存圖入度操作
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        edge[a].push_back(b);
        in[b]++;
    }
    for(register int i=0;i<n;i++)//把入度為0的點入隊
    {
        if(!in[i])
        q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();//取隊首
        q.pop();
        topo.push_back(x);//存入拓撲序列
        for(register int j=0;j<edge[x].size();j++)//找鄰居
        {
            int y=edge[x][j];
            in[y]--;//度減1
            if(!in[y])//找鄰居度為0的節點
            q.push(y); 
        }
    }
    for(register int i=topo.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=topo[i];
        f[x].reset();//置所以位為0
        f[x][x]=1; // x這個點可以到達自己   f[x][x] =表示從 x出發的點，
        for(register int k=0;k<edge[x].size();k++)
        {
            f[x]|=f[edge[x][k]];//x這個點可以到達的點的數量= {x} U {y1} U {y2}..{yn}
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    cout<<f[i].count()<<endl;// f[i].count() 返回f[i] 中 1的個數
    return 0;
}