引入
把完成一件事情或一個專案當成一個工程來對待，又將其分為若干個“活動”的子工程。例如：“炒一盤肉”這個工程，可以按照先後步驟畫出以下這麼一張圖。
把上面這張圖看成是一個表示工程的有向圖，用頂點（Vertex）表示活動（Activity），用弧（Edge）表示活動（Activity）之間的優先關係，稱這樣的圖為頂點表示活動的網（Activity On Vertex Network），即AOV網。
AOV網中弧（Edge）表示活動（Activity）之間有制約關係。另外AOV網中不能存在迴路，即A這個活動的開始條件是以A這個活動的結束為先決條件的。
定義
設G=(V, E)是具有n個頂點的有向圖，V中頂點序列v1、v2、……、vn滿足：若從頂點vi到vj有一條路徑，則vi必在頂點vj之前。則這樣的頂點序列為拓撲序列。（圖G的拓撲序列可以不止一個）
即：
①有向圖G=(V, E)中，有頂點V={v1, v2, … , vn}（前提）
②v1、v2、……、vn以某種順序構成頂點序列S，從中任取兩個相異頂點vi，vj。（前提）
③若vi到vj有路徑，且vi在vj之前。（條件）
④則頂點序列S為一個拓撲序列。（結論）
核心思想
拓撲排序解決的是“一個工程能否按順序進行”的問題。其演算法過程如下：
①用鄰接表來表示有向圖G。計數器counter置0。
②將圖G中所有入度為0的頂點入棧S。
③若棧S不為空，則從棧中彈出一個頂點vtop。
④將頂點vtop的出邊弧頭頂點vadj的入度減1。
⑤如果vadj的入度為0了，則將vadj入棧S。
⑥計數器counter++。
⑦跳至步驟③。
⑧如果計數器counter與圖G的頂點數相等，則完成拓撲排序，否則以為著圖G中有環，不能進行拓撲排序。
問題：嘗試對上面的圖進行拓撲排序？
推演
使用鄰接表來表示上面的圖，如下：
基於前面的核心思想對排序過程進行推演如下：
初始所有入度為0的頂點：棧頂->[開始做菜]
第0次迴圈開始時棧：棧頂->[開始做菜]
開始做菜出棧：棧頂->[]
準備蒜苗入度：1-1=0。
準備蒜苗入棧。棧：棧頂->[準備蒜苗]
準備辣椒入度：1-1=0。
準備辣椒入棧。棧：棧頂->[準備辣椒,準備蒜苗]
準備豬肉入度：1-1=0。
準備豬肉入棧。棧：棧頂->[準備豬肉,準備辣椒,準備蒜苗]
第0次迴圈結束時棧：棧頂->[準備豬肉,準備辣椒,準備蒜苗]
第1次迴圈開始時棧：棧頂->[準備豬肉,準備辣椒,準備蒜苗]
準備豬肉出棧：棧頂->[準備辣椒,準備蒜苗]
炒肉入度：1-1=0。
炒肉入棧。棧：棧頂->[炒肉,準備辣椒,準備蒜苗]
第1次迴圈結束時棧：棧頂->[炒肉,準備辣椒,準備蒜苗]
第2次迴圈開始時棧：棧頂->[炒肉,準備辣椒,準備蒜苗]
炒肉出棧：棧頂->[準備辣椒,準備蒜苗]
放入蔬菜入度：2-1=1。
第2次迴圈結束時棧：棧頂->[準備辣椒,準備蒜苗]
第3次迴圈開始時棧：棧頂->[準備辣椒,準備蒜苗]
準備辣椒出棧：棧頂->[準備蒜苗]
浸泡蔬菜入度：2-1=1。
第3次迴圈結束時棧：棧頂->[準備蒜苗]
第4次迴圈開始時棧：棧頂->[準備蒜苗]
準備蒜苗出棧：棧頂->[]
浸泡蔬菜入度：1-1=0。
浸泡蔬菜入棧。棧：棧頂->[浸泡蔬菜]
第4次迴圈結束時棧：棧頂->[浸泡蔬菜]
第5次迴圈開始時棧：棧頂->[浸泡蔬菜]
浸泡蔬菜出棧：棧頂->[]
放入蔬菜入度：1-1=0。
放入蔬菜入棧。棧：棧頂->[放入蔬菜]
第5次迴圈結束時棧：棧頂->[放入蔬菜]
第6次迴圈開始時棧：棧頂->[放入蔬菜]
放入蔬菜出棧：棧頂->[]
完成入度：1-1=0。
完成入棧。棧：棧頂->[完成]
第6次迴圈結束時棧：棧頂->[完成]
第7次迴圈開始時棧：棧頂->[完成]
完成出棧：棧頂->[]
第7次迴圈結束時棧：棧頂->[]
開始做菜,準備豬肉,炒肉,準備辣椒,準備蒜苗,浸泡蔬菜,放入蔬菜,完成
程式碼
用鄰接矩陣來表示圖G。如前面的圖。以及大話資料結構上的圖，如下圖：
C#程式碼
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
namespace TopologicalSort
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
TopologicalSort(new Vertex[] {
new Vertex(0,"0",new int[]{11, 5, 4 }),
new Vertex(0,"1",new int[]{8, 4, 2 }),
new Vertex(2,"2", new int[]{9, 6, 5 }),
new Vertex(0,"3",new int[]{13,2 }),
new Vertex(2,"4",new int[]{7 }),
new Vertex(3,"5",new int[]{12,8 }),
new Vertex(1,"6",new int[]{ 5}),
new Vertex(2,"7",new int[]{ }),
new Vertex(2,"8",new int[]{7 }),
new Vertex(1,"9",new int[]{ 11,10}),
new Vertex(1,"10",new int[]{13 }),
new Vertex(2,"11",new int[]{ }),
new Vertex(1,"12",new int[]{ 9}),
new Vertex(2,"13",new int[]{ }),
});
TopologicalSortWithDebug(new Vertex[] {
new Vertex(0,"開始做菜",new int[]{1, 2, 3}),
//new Vertex(2,"準備蒜苗",new int[]{4,1}), // 讓圖中存在環
new Vertex(1,"準備蒜苗",new int[]{4}),
new Vertex(1,"準備辣椒", new int[]{4}),
new Vertex(1,"準備豬肉",new int[]{5}),
new Vertex(2,"浸泡蔬菜",new int[]{6}),
new Vertex(1,"炒肉",new int[]{6}),
new Vertex(2,"放入蔬菜",new int[]{7}),
new Vertex(1,"完成",new int[]{ })
});
}
public static void TopologicalSort(Vertex[] graph)
{
List<string> result = new List<string>();
// 1.用於判斷最終圖中是否還有入度為0的頂點。若沒有則拓撲排序成功。否則沒有。
int counter = 0;
// 快取入度為0的頂點。
Stack<Vertex> s = new Stack<Vertex>();
// 2.將所有入度為0的頂點入棧。
for (int i = 0; i < graph.Length; i++)
{
Vertex v = graph[i];
if (v.InDegree == 0)
{
s.Push(v);
}
}
// 3.若棧S不為空，
while (s.Count != 0)
{
// 則從棧中彈出一個頂點Vtop。
Vertex top = s.Pop();
// 4.將頂點Vtop的出邊弧頭
for (var e = top.Edge; e != null; e = e.Next)
{
// 弧頭頂點在頂點陣列中的索引。
int n = e.Vertex;
Vertex adj = graph[n];
// 頂點Vadj的入度減1。
adj.InDegree--;
// 5.如果Vadj的入度為0，
if (adj.InDegree == 0)
{
// 則將Vadj入棧S。
s.Push(adj);
}
}
result.Add(top.Data);
// 6.計數器遞增。
counter++;
// 7.跳至步驟3。
}
if (counter != graph.Length)
{
Console.WriteLine($"錯誤：圖G中頂點數：{graph.Length}，還剩{graph.Length - counter}個頂點入度非0。");
}
else
{
Console.WriteLine(string.Join(",", result.ToArray()));
}
}
public static void TopologicalSortWithDebug(Vertex[] graph)
{
List<string> result = new List<string>();
// 1.用於判斷最終圖中是否還有入度為0的頂點。若沒有則拓撲排序成功。否則沒有。
int counter = 0;
// 快取入度為0的頂點。
Stack<Vertex> s = new Stack<Vertex>();
// 2.將所有入度為0的頂點入棧。
for (int i = 0; i < graph.Length; i++)
{
Vertex v = graph[i];
if (v.InDegree == 0)
{
s.Push(v);
}
}
Console.WriteLine($"初始所有入度為0的頂點：{PrintStackVertex(s)}");
// 3.若棧S不為空，
while (s.Count != 0)
{
Console.WriteLine($"第{counter}次迴圈開始時棧：{PrintStackVertex(s)}");
// 則從棧中彈出一個頂點Vtop。
Vertex top = s.Pop();
Console.WriteLine($"{top.Data}出棧：{PrintStackVertex(s)}");
// 4.將頂點Vtop的出邊弧頭
for (var e = top.Edge; e != null; e = e.Next)
{
// 弧頭頂點在頂點陣列中的索引。
int n = e.Vertex;
Vertex adj = graph[n];
// 頂點Vadj的入度減1。
//adj.InDegree--;
Console.WriteLine($"{adj.Data}入度：{adj.InDegree}-1={--adj.InDegree}。");
// 5.如果Vadj的入度為0，
if (adj.InDegree == 0)
{
// 則將Vadj入棧S。
s.Push(adj);
Console.WriteLine($"{adj.Data}入棧。棧：{PrintStackVertex(s)}");
}
}
result.Add(top.Data);
Console.WriteLine($"第{counter}次迴圈結束時棧：{PrintStackVertex(s)}");
// 6.計數器遞增。
counter++;
// 7.跳至步驟3。
Console.WriteLine();
}
if (counter != graph.Length)
{
Console.WriteLine($"錯誤：圖G中頂點數：{graph.Length}，還剩{graph.Length - counter}個頂點入度非0。");
}
else
{
Console.WriteLine(string.Join(",", result.ToArray()));
}
}
public static string PrintStackVertex(Stack<Vertex> s)
{
string[] datas = s.ToArray().Select(e => e.Data).ToArray();
return $"棧頂->[{string.Join(',', datas)}]";
}
}
/// <summary>
/// 圖G的頂點。用鄰接表來表示頂點的出邊。
/// </summary>
public class Vertex
{
/// <summary>
/// 入度。
/// </summary>
public int InDegree { get; set; } = 0;
/// <summary>
/// 儲存的資料。
/// </summary>
public string Data { get; set; } = "";
/// <summary>
/// 出邊。
/// </summary>
public Edge Edge { get; set; } = null;
public Vertex(int inDegree, string data, int[] vertexIndexes)
{
this.InDegree = inDegree;
this.Data = data;
Edge e = null;
for (int i = 0; i < vertexIndexes.Length; i++)
{
if (e == null)
{
e = new Edge(vertexIndexes[i], null);
this.Edge = e;
}
else
{
e.Next = new Edge(vertexIndexes[i], null);
e = e.Next;
}
}
}
}
/// <summary>
/// 圖G的邊。以鄰接表表示頂點的出邊。
/// </summary>
public class Edge
{
/// <summary>
/// 邊的弧頭頂點在頂點陣列中的索引。
/// </summary>
public int Vertex { get; set; } = -1;
/// <summary>
/// 邊的弧尾頂點的下一條出邊。
/// </summary>
public Edge Next { get; set; } = null;
public Edge(int vertex = -1, Edge edge = null)
{
this.Vertex = vertex;
this.Next = edge;
}
}
}
TypeScript程式碼
/**
* 圖G的頂點。用鄰接表來表示頂點的出邊。
*/
class Vertex {
// 入度。
InDegree: number = 0;
// 儲存的資料。
Data: string = "";
// 首條出邊。
Edge: Edge = null;
/**
* 建立鄰接表的一行。
* @param inDegree 頂點的入度。
* @param data 頂點儲存的資料。
* @param vertexIndexes 頂點的出邊（弧）的弧頭。
*/
constructor(inDegree: number, data: string, vertexIndexes: number[]) {
this.InDegree = inDegree;
this.Data = data;
let e: Edge = null;
for (let i = 0; i < vertexIndexes.length; i++) {
if (e === null) {
e = new Edge(vertexIndexes[i], null);
this.Edge = e;
}
else {
e.Next = new Edge(vertexIndexes[i], null);
e = e.Next;
}
}
}
}
/**
* 圖G的邊。以鄰接表表示頂點的出邊。
*/
class Edge {
// 邊的弧頭頂點在頂點陣列中的索引。
Vertex: number = -1;
// 邊的弧尾頂點的下一條出邊。
Next: Edge = null;
/**
* 建立鄰接表中的一條邊/弧。
* @param vertex 鄰接表中，該邊的弧尾頂點的在頂點陣列中的下標。
* @param next 鄰接表中，該邊的弧尾頂點的下一條出邊。
*/
constructor(vertex: number, next: Edge) {
this.Vertex = vertex;
this.Next = next;
}
}
/**
* 對圖G進行拓撲排序。圖G中若無環，則可進行拓撲排序，否則會輸出錯誤資訊。
* @param graph 圖G。
*/
function topologicalSort(graph: Vertex[]) {
let result: string[] = [];
// 1.用於判斷最終圖中是否還有入度為0的頂點。若沒有則拓撲排序成功。否則沒有。
let counter: number = 0;
// 快取入度為0的頂點。
let s: Vertex[] = [];
// 2.將所有入度為0的頂點入棧。
for (let i = 0; i < graph.length; i++) {
let v: Vertex = graph[i];
if (v.InDegree === 0) {
s.push(v);
}
}
// 3.若棧S不為空，
while (s.length != 0) {
// 則從棧中彈出一個頂點Vtop。
let top: Vertex = s.pop();
// 4.將頂點Vtop的出邊弧頭
for (let e: Edge = top.Edge; e !== null; e = e.Next) {
// 弧頭頂點在頂點陣列中的索引。
let n: number = e.Vertex;
let adj: Vertex = graph[n];
// 頂點Vadj的入度減1。
adj.InDegree--;
// 5.如果Vadj的入度為0，
if (adj.InDegree == 0) {
// 則將Vadj入棧S。
s.push(adj);
}
}
result.push(top.Data);
// 6.計數器遞增。
counter++;
// 7.跳至步驟3。
}
if (counter != graph.length) {
console.log(`錯誤：圖G中頂點數：${graph.length}，還剩${graph.length - counter}個頂點入度非0。`);
}
else {
console.log(result.join(","));
}
}
/**
* 對圖G進行拓撲排序。圖G中若無環，則可進行拓撲排序，否則會輸出錯誤資訊。
* @param graph 圖G。
*/
function topologicalSortWithDebug(graph: Vertex[]) {
let result: string[] = [];
// 1.用於判斷最終圖中是否還有入度為0的頂點。若沒有則拓撲排序成功。否則沒有。
let counter: number = 0;
// 快取入度為0的頂點。
let s: Vertex[] = [];
// 2.將所有入度為0的頂點入棧。
for (let i = 0; i < graph.length; i++) {
let v: Vertex = graph[i];
if (v.InDegree === 0) {
s.push(v);
}
}
console.log(`初始所有入度為0的頂點：${PrintStackVertex(s)}`);
// 3.若棧S不為空，
while (s.length != 0) {
console.log(`第${counter}次迴圈開始時棧：${PrintStackVertex(s)}`);
// 則從棧中彈出一個頂點Vtop。
let top: Vertex = s.pop();
console.log(`${top.Data}出棧：${PrintStackVertex(s)}`);
// 4.將頂點Vtop的出邊弧頭
for (let e: Edge = top.Edge; e !== null; e = e.Next) {
// 弧頭頂點在頂點陣列中的索引。
let n: number = e.Vertex;
let adj: Vertex = graph[n];
// 頂點Vadj的入度減1。
//adj.InDegree--;
console.log(`${adj.Data}入度：${adj.InDegree}-1=${--adj.InDegree}。`);
// 5.如果Vadj的入度為0，
if (adj.InDegree == 0) {
// 則將Vadj入棧S。
s.push(adj);
console.log(`${adj.Data}入棧。棧：${PrintStackVertex(s)}`);
}
}
result.push(top.Data);
console.log(`第${counter}次迴圈結束時棧：${PrintStackVertex(s)}`);
// 6.計數器遞增。
counter++;
// 7.跳至步驟3。
}
if (counter != graph.length) {
console.log(`錯誤：圖G中頂點數：${graph.length}，還剩${graph.length - counter}個頂點入度非0。`);
}
else {
console.log(result.join(","));
}
}
function PrintStackVertex(s: Vertex[]): string {
let result: string[] = [];
s.forEach(e=>result.push(e.Data));
return `棧頂->[${result.join(",")}]`;
}
function main() {
// let vs: Vertex[] = [
// new Vertex(0, "0", [11, 5, 4]),
// new Vertex(0, "1", [8, 4, 2]),
// new Vertex(2, "2", [9, 6, 5]),
// new Vertex(0, "3", [13, 2]),
// new Vertex(2, "4", [7]),
// new Vertex(3, "5", [12, 8]),
// new Vertex(1, "6", [5]),
// new Vertex(2, "7", []),
// new Vertex(2, "8", [7]),
// new Vertex(1, "9", [11, 10]),
// new Vertex(1, "10", [13]),
// new Vertex(2, "11", []),
// new Vertex(1, "12", [9]),
// new Vertex(2, "13", [])
// ];
// topologicalSort(vs);
let vertexes: Vertex[] = [
new Vertex(0, "開始做菜", [1, 2, 3]),
//new Vertex(2, "準備蒜苗", new int[]{4, 1}), // 讓圖中存在環
new Vertex(1, "準備蒜苗", [4]),
new Vertex(1, "準備辣椒", [4]),
new Vertex(1, "準備豬肉", [5]),
new Vertex(2, "浸泡蔬菜", [6]),
new Vertex(1, "炒肉", [6]),
new Vertex(2, "放入蔬菜", [7]),
new Vertex(1, "完成", [])
];
//topologicalSort(vertexes);
topologicalSortWithDebug(vertexes);
}
main();
參考資料
《大話資料結構》 - 程傑 著 - 清華大學出版社 第270頁