圖論(Graph Theory)

一、介紹

圖是用來對物件之間的成對關係建模的數學結構，由”節點”或”頂點”(Vertex）以及連線這些頂點的”邊”（Edge）組成。

值得注意的是，圖的頂點集合不能為空，但邊的集合可以為空。圖可能是無向的，這意味著圖中的邊在連線頂點時無需區分方向。否則，稱圖是有向的。

二、圖的分類

1. 圖分為：無向圖和有向圖(無向圖是有向圖的特殊形式)
   無向圖：
   

有向圖：

2. 按權分為：無權圖和有權圖
   無權圖：
   

有權圖：

3. 圖有平行邊，自環邊：

三、圖的表示

1. 鄰接矩陣：

   0——表示未連線 1——表示連線

• 無向圖的鄰接矩陣：
  

• 有向圖的鄰接矩陣：
  

適用說明：鄰接矩陣適合表示稠密圖

2. 鄰接表：

• 無向圖的鄰接表
  

• 有向圖的鄰接表
  

適用說明：鄰接表適合表示稀疏圖

四、稠密圖、稀疏圖的實現(無權圖)

1. 稠密圖的實現
   支援的操作有:

• 返回節點數

• 返回邊數

• 向圖中新增邊

• 驗證兩節點間是否有邊

• 顯示圖的資訊

  #include <iostream>
  #include <vector>
  #include <cassert>
  using namespace std;
  //稠密圖
  class DenseGraph{
  private:
      int n, m; //節點數和邊數
      bool directed; //是否為有向圖
      vector<vector<bool>> g; //圖的具體資料,0 1 用bool值false和true表示
  public:
      DenseGraph(int n, bool directed){
        assert(n >= 0);
        this->n = n;
        this->m = 0;
        this->directed = directed;
  // g初始化為n*n的布林矩陣, 每一個g[i][j]均為false, 表示沒有任和邊
        g = vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(n, false));
  }
    //解構函式
    ~DenseGraph(){}
  //返回圖中節點的個數
  int getV(){
       return n;
  }
  //返回圖中邊的條數
  int getE(){
       return m;
  }
  //向圖中新增一條邊
  void addEdga(int v, int w){
        assert(v >= 0 && v < n);
        assert(w >= 0 && w < n);
        if(hasEdga(v, w)){
             return;
         }
  
        g[v][w] = true;
      //無向圖是雙向的
        if(!directed){
             g[w][v] = true;
         }
        m++;
  }
  //驗證圖中是否有v到w的邊
  bool hasEdga(int v, int w){
       assert(v >= 0 && v < n);
       assert(w >= 0 && w < n);
       return g[v][w];
  }
  //顯示圖中資訊
  void show(){
      for(int i = 0; i < n; i++){
          for(int j = 0; j < n; j++){
              cout<<g[i][j]<<"\t";
      cout<<endl;
       }
      }
    }
  };

2. 稀疏圖的實現

支援的操作有:

• 返回節點數

• 返回邊數

• 向圖中新增邊

• 驗證兩節點間是否有邊

• 顯示圖的資訊

  #include <iostream>
  #include <vector>
  #include <cassert>
  using namespace std;
  //稀疏圖—鄰接表
  class SparseGraph{
  private:
      int n, m; //節點數和邊數
      bool directed; //是否為無向圖
      vector<vector<int>> g; //圖的具體資料
  public:
     SparseGraph(int n,bool directed){
         assert(n >= 0);
         this->n = n;
         this->directed = directed;
         // g初始化為n個空的vector, 表示每一個g[i]都為空, 即沒有任和邊
         g = vector<vector<int>>(n, vector<int>());
  }
    //解構函式
    ~SparseGraph(){}
  
    int getV(){
        return n;
  }
    int getE(){
        return m;
  }
  // 向圖中新增一個邊
  void addEdga(int v, int w){
        assert( v >= 0 && v < n );
        assert( w >= 0 && w < n );
       //將w放入g[v][i]中,將w與v相連
        g[v].push_back(w);
        if(v != w && !directed){
            g[w].push_back(v);
        }
        m ++;
  }
  // 驗證圖中是否有從v到w的邊
  bool hasEdga(int v, int w){
        assert( v >= 0 && v < n );
        assert( w >= 0 && w < n );
        for(int i = 0; i <= g[v].size(); i++){
              if(g[v][i] == w)
                   return true;
              return false;  }
  }
  //顯示圖中資訊
  void show(){
      for(int i = 0; i < n; i++){
          cout<<"vector"<<":\t";
          for(int j = 0; j < g[i].size(); j++){
              cout<<g[i][j]<<":\t";
            }
          cout<<endl;
      }
    }
  };
  
  
  

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