## 一、前言

在瞭解加密原理前，我們來看看這樣一個故事。

小紅和小明是情侶，一天，小紅給小明發簡訊說：“親愛的，我銀行卡上沒有錢了，你給我轉1萬塊吧。”有過上當受騙經歷的人都知道這有可能是小偷偷了小紅手提包，然後拿手機發的簡訊。不過我們小明學過加密原理，於是他回覆說：“你直接拿我的銀行卡刷吧，密碼加上我們第一次約會的日期就是663156。”很明顯，只有小明和小紅知道他們第一次約會是什麼時候，假設是2008年4月1號，那麼小紅就可以根據計算663156-200841=462315得到銀行卡密碼，就可以消費了。

這就是加密的本質，將資訊與金鑰相加得到加密後的資訊。只有知道金鑰的人才能解密。

## 二、什麼是秘鑰

既然加密需要金鑰，那麼金鑰是什麼呢？

金鑰是作用於加密時的一串密碼，透過金鑰進行資訊加密，傳輸，到達接收者和監聽者，由於接收者也有金鑰，所以接收者可以根據金鑰進行解密。從而防止通訊資訊洩露。

## 三、什麼是對稱加密

前言講的故事就是一個對稱式加密，小明和小紅都知道第一次約會的日期。所以傳統的對稱式加密需要通訊雙方都儲存同一份金鑰，透過這份金鑰進行加密和解密。所以非對稱加密也稱為單金鑰加密。

對稱加密的優勢在於加解密速度快，但是安全性較低，金鑰一旦洩露，所有的加密資訊都會被破解。同時金鑰的傳輸和保密也成為難題。為了解決金鑰傳輸的問題，出現透過金鑰交換建立共享金鑰的技術。具體如何建立共享金鑰呢？我們往下看。

### 3.1 建立共享密匙

在小明、小紅和小偷的三人世界中，由於小明是學過加密原理的，知道迪菲–赫爾曼金鑰交換（Diffie-Hellman Key Exchange），所以他知道如何建立共享金鑰。

#### 3.1.1 顏料混合把戲：

接下來我們看看如何透過顏料混合把戲建立共享金鑰吧。

假設在房間中有小明、小紅和小偷三個人，每個人各自擁有相同顏色的顏料。在房間的正中間也有這些顏料。接下來，小明要和小紅建立共享金鑰了。此時，小明對大家說：“我要用藍色。”然後小明從自己的顏料裡選擇了黃色，這個黃色就是小明的私鑰，小紅和小偷都不知道。小明將自己的私鑰黃色與公鑰藍色混合後，得到了一種不能分解的顏色，我們就叫“小明-藍色”吧（雖然大家都知道黃+藍變綠，但是這裡我們為了知道是誰的混合色，還是以名字加公鑰顏色來稱呼），然後小明將“小明-藍色”公佈了出來。同樣，小紅聽到了小明說用藍色後，也選擇了自己的私鑰紅色與公鑰藍色混合，得到了“小紅-藍色”並公佈了出來。

此時，房間中小明、小紅、小偷三人都知道了幾個資訊。

> 1.他們都用了藍色
> 
> 2.小明公佈了“小明-藍色”（小紅和小偷不知道是什麼顏料與藍色的混合）
> 
> 3.小紅公佈了“小紅-藍色”（小紅和小偷不知道是什麼顏料與藍色的混合）

接下來，見證奇蹟的時刻到了，小明拿到“小紅-藍色”與自己的私鑰“黃色”混合，得到“小紅-藍色-小明”的新顏料。同樣的，小紅拿到“小明-藍色”與自己的私鑰“紅色”混合，得到“小明-藍色-小紅”。大家發現了嗎？“小紅-藍色-小明”和“小明-藍色-小紅”是一模一樣的顏色。而小偷不知道小明和小紅的私鑰顏色，無法混合出與他們相同的顏色。

至此，共享金鑰建立起來了。在瞭解了共享金鑰的建立過程後，我們將告別實體顏料，採用數字的方式來建立共享金鑰。

**注：**大家可能想到了，小偷可以根據自己的顏料與公鑰“藍色”混合，嘗試得出“小明-藍色”和“小紅-藍色”。這樣的方法稱之為窮舉法，也就是嘗試所有的可能性，進行資訊破解，所以加密演算法在理論上都是可以透過窮舉法破解的，只不過實際上，超級計算機都需要計算萬億年才能窮舉出所有可能性。

#### 3.1.2 乘法把戲：

首先，我們假設乘法如同顏料混合一樣，是不能分解的，看看如何用乘法與數字建立共享金鑰。

小明公開了一個數字5，然後小明選擇了一個私人數字4，然後利用乘法將兩者混合起來，得到“小明-5”（20），接下來小紅也選擇了一個私人數字7得到“小紅-5”（35），小明拿到35\*4=140，小紅拿到20\*7=140。共享金鑰建立完成。

大家也發現了，小偷知道20,35,5這三個數字後，用除法就能算出小明和小紅的私鑰。所以，接下來我們將瞭解實際使用中的如何使用乘法把戲來防止私鑰被計算出來的。

### 3.2 迪菲–赫爾曼金鑰交換演算法

我們都知道冪運算，但是要讓計算機計算就比較難了。所以，我們會用冪運算作為建立共享金鑰的乘法把戲。同時，我們還要了解鍾算的原理，這裡的鐘可以理解成我們經常看到的時鐘，我們常見的時鐘最大是12，如果當前是10點，過了4個小時後，就變成了下午2點。也就是(10+4)mod12=2。瞭解了鍾算和冪運算後，就開始進入正題吧。

還是小明、小紅和小偷的房間，小明宣告瞭鍾為11，冪運算的底為2，接下來小明和小紅分別選擇了自己的私鑰4和7。

> **第一步**，小明混合自己的“小明-11,2”得到，小紅混合自己的“小紅-11,2”得到。
> 
> **第二步**，小明拿到“小紅-11,2”（7）進行計算，小紅拿到“小明-11,2”（5）進行計算。

大家注意到了嗎，小明和小紅建立了共享金鑰3，而小偷無法根據已知的11,2,5,7這幾個數字計算出金鑰或小明小紅的私鑰。有了共享金鑰後，小明和小紅就可以安全進行加密傳輸了。

![迪菲－赫爾曼金鑰交換](https://static001.geekbang.org/infoq/d7/d7baaebc8f27ab1742ba6cdaf7516375.png)

### 3.3 AES對稱加密過程

AES 的全稱是 Advanced Encryption Standard ，是最流行的對稱加密演算法，其加解密速度快。AES支援128位，192位，256位三種長度的金鑰，金鑰越長安全性越高。AES加密時會把明文切分成許多小塊的明文，然後對每塊明文單獨加密，將加密後的密文傳送出去，接收方再將密文切塊解密，得到明文。

如下圖所示：

![AES加密原理](https://static001.geekbang.org/infoq/82/826e2e60d6d028ed729d3f2acde4d1bf.png)

上一步中小明和小紅已經協商好了金鑰3。接下來就可以透過對稱加密進行通訊了。

在小明、小紅和小偷的房間中，小明想把密碼“462315”告訴小紅，於是：

> 第一步：將密碼按照一位的長度進行切分（實際中通常按128位進行切分）；就變成了“4”“6”“2”“3”“1”“5”；
> 
> 第二步：對每塊明文透過金鑰3進行加密，結果就是“795648”，然後小明告訴小紅和小偷：“我的密碼是795648”；
> 
> 第三步：小紅拿到密文後，對密文進行切塊，對每塊透過金鑰3進行解密，就得到了正確的密碼“462315”，而小偷由於不知道金鑰，就無法解密出正確的資訊。

## 四、什麼是非對稱加密

在對稱加密中，加密和解密使用的是同一份金鑰。所以，在非對稱加密中，加密和解密使用的是不同的金鑰。非對稱加密中的金鑰分為公鑰和私鑰。公鑰顧名思義就是公開的，任何人都可以透過公鑰進行資訊加密，但是隻有使用者私鑰的人才能完成資訊解密。非對稱加密帶來了一個好處，避免了對稱式加密需要傳輸和儲存同一份金鑰的痛苦。

現在最流行的非對稱加密演算法就是RSA加密演算法，具體是怎麼做的呢，我們繼續往下看。

### 4.1 RSA對稱加密過程

維基百科是這麼解釋的：RSA加密演算法是一種[非對稱加密演算法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95)，在[公開金鑰加密](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E5%BC%80%E5%AF%86%E9%92%A5%E5%8A%A0%E5%AF%86)和[電子商業](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%94%B5%E5%AD%90%E5%95%86%E4%B8%9A)中被廣泛使用。RSA是由[羅納德·李維斯特](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%BA%B3%E5%BE%B7%C2%B7%E6%9D%8E%E7%BB%B4%E6%96%AF%E7%89%B9)（Ron Rivest）、[阿迪·薩莫爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E8%BF%AA%C2%B7%E8%90%A8%E8%8E%AB%E5%B0%94)（Adi Shamir）和[倫納德·阿德曼](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%A6%E7%BA%B3%E5%BE%B7%C2%B7%E9%98%BF%E5%BE%B7%E6%9B%BC)（Leonard Adleman）在1977年一起提出的。當時他們三人都在[麻省理工學院](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BA%BB%E7%9C%81%E7%90%86%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E9%99%A2)工作。RSA 就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。

前面我們講了如何透過鍾算和冪函式建立不可逆（計算機可以透過窮舉法計算出私鑰，實際場景中就算是超級計算機也要計算幾萬億年之久）的共享金鑰。由於小紅是小明的女朋友，小明天天在小紅面前給她講RSA加密演算法的原理，所以小紅也知道怎麼得出自己的公鑰和私鑰。接下來我們一起跟著小紅的腳步，看看RSA加密的公鑰和私鑰是怎麼計算出來的。

> 第一步：小紅選擇了兩個很大的質數p和q，這裡為了便於計算，選擇2和11;
> 
> 第二步：計算p和q的乘積n=p\*q=2\*11=22；
> 
> 第三部：計算n的尤拉函式φ(n)=(p-1)*(q-1)=10；
> 
> 第四步：選擇一個小於φ(n)且與φ(n)互質的整數e，{1,3,7,9}，這裡選擇e=7；
> 
> 第五步：計算e對於φ(n)的模反元素（ed mode φ(n) = 1）d，d=3

到這裡小紅就得到了他自己的公鑰(n,e)和私鑰(n,d)。其中n就是鍾大小，e和d就是冪函式的冪。接下來就透過計算出來的公鑰和私鑰進行資料的加解密。

還是小明、小紅和小偷三個人，小紅對大家說，我的公鑰是（22,7），小明知道了小紅的公鑰後，想講自己的資訊“14”告訴小紅，於是就用小紅公開的公鑰進行加密。

具體步驟如下：

> 第一步：小明根據要加密的資訊14進行計算，得到加密後的資訊20，然後將20告訴小紅和小偷；
> 
> 第二步：小紅有自己的私鑰，將加密資訊20進行解密，，得到了小明想傳遞給小紅的資訊。而小偷呢，知道22,7,20，但是不知道小紅的金鑰（22,3），無法解密出正確的資訊。

RSA加密演算法在數字簽名中也發揮著巨大的作用，假設小偷可以假冒小紅，說小紅的公鑰是（22,9），而小明不知道是小偷假扮的，按照小偷的公鑰加密後，結果被小偷解密了。數字簽名的作用就是防止資訊被篡改，小紅說她的公鑰是（22,7）的同時，使用私鑰給這段資訊（通常使用MD5值計算簽名）加上簽名，小明得到公鑰（22,7）和簽名13，小明拿到簽名後利用公鑰計算出資訊是否被篡改。

![](https://static001.geekbang.org/infoq/ee/ee0567a0a9351528ed312bcfc494d5fe.png)

## 五、加密的實際作用

本文使用的很小的數來進行加密原理的講解，為了是讀者可以方便進行計算。在實際使用中（n,e）都是特別大的數，其中n的長度都在768以上，1024長度被認為是基本安全的。

```java
（1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413=
 
33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489
 
×
 
36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917）

```

## 六、總結

最後總結一下，首先我們透過一個詐騙簡訊的例子，引出了加密的原理就是資訊+金鑰，金鑰就是對資訊進行加解密的一串數字。然後透過顏料混合把戲形象的演示瞭如何建立共享金鑰。在使用乘法建立共享金鑰的過程中，學習了鍾算和冪運算，接著我們瞭解了RSA加密演算法的過程，透過兩個質數生成公鑰和私鑰，最後，我們根據公鑰進行資訊加密，再透過私鑰完成資訊解密。

## 七、寫在最後

或許看到這裡，大家心裡還有許多疑惑。為什麼小明和小紅建立共享金鑰時，透過幾次冪運算和鍾算就能得到一樣的共享金鑰？為什麼RSA加密演算法要用兩個質數？為什麼透過公鑰加密的資訊可以透過私鑰解開？

加密演算法的背後，是一道道迷人的數學難題，而RSA加密演算法之所以被廣泛運用，是因為一個名為整數分解的古老數學問題，你可以輕易找到兩個很大的質數相乘得到一個結果n，但是要將這個結果n分解回兩個質數就變得極其困難。儘管這個所謂的“整數分解”問題被研究了數個世紀，還沒人能找到一個足夠高效的通用方法解決它，並對標準RSA鍾大小造成危害。

數學史中充滿了未解決的問題，儘管這些迷人的問題缺乏任何實際應用，卻單靠其美學特質就吸引了數學家進行深入探究。令人頗感驚訝的是，許多這類迷人但顯然無用的問題後來都有了很大的實用價值，這一價值只有在問題被研究數個世紀後才得以破解。整數分解這一問題由來已久。對其最早的嚴肅研究似乎是在17世紀，由數學家費馬（Fermat）和梅森（Mersenne）進行的。尤拉（Euler）和高斯（Gauss）兩位數學“泰斗”也在接下來的世紀裡對這一問題做出了貢獻。但直到公鑰加密於20世紀70年代被發明，分解大數字的困難才成為一個實際應用的關鍵。

## 八、參考資料

1.[《RSA演算法原理》](http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html%20%E3%80%8ARSA)

2.[《RSA加密》](https://blog.csdn.net/yahibo/article/details/93863165)

3.[《RSA加密演算法》](https://zh.wikipedia.org/wiki/RSA%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95)

4.《改變未來的九大演算法》

> 作者：vivo 網際網路伺服器團隊-Deng Qian

加密原理詳解：對稱式加密VS非對稱式加密

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