- 偏序和等價關係
- Dilworth 定理
- 定理 1
- 定理 2（Dilworth 定理）
偏序和等價關係
關係：設 \(X\) 是一個集合，\(X\) 上的關係是 \(X\) 的元素的有序對集合 \(X\times X\) 的子集 \(R\)。我們把屬於 \(R\) 的有序對 \((a,b)\) 寫作 \(aRb\)。把不屬於 \(R\) 的有序對 \((a,b)\) 寫作 \(a\not R b\)。
集合 \(X\) 上的關係 \(R\) 可能具有的一些特性：
- 如果對於 \(X\) 中所有的 \(x\)，都有 \(xRx\)，則稱 \(R\) 是自反的。
- 如果對於 \(X\) 中所有的 \(x\)，都有 \(x\not Rx\)，則稱 \(R\) 是反對稱的。
- 如果對於 \(X\) 中所有的 \(x\)，只要 \(xRy\) 就有 \(yRx\)，則稱 \(R\) 是對稱的。
- 如果對於 \(X\) 中所有的 \(x\)，只要 \(xRy\) 就有 \(y\not Rx\)，則稱 \(R\) 是反對稱的。
- 對於 \(X\) 中的 \(x,y,z\)，只要 \(xRy,yRz\)，就有 \(xRz\)，則稱 \(R\) 是傳遞的。
偏序、偏序集：集合 \(X\) 上的偏序是一個自反、反對稱且傳遞的關係，集合 \(X\) 上的嚴格偏序是一個反自反、反對稱且傳遞的關係。因此 \(\subseteq,\le,\mid\) 均是偏序，而 \(\subset,<\) 均是嚴格偏序。在其上定義了偏序 \(\le\) 的集合 \(X\) 也叫做偏序集，記作 \((X,\le)\)。
若 \(xRy\) 或 \(yRx\)，則說 \(x\) 和 \(y\) 是可比的，否則不可比。若 \(X\) 的每一對元素都是可比的，則集合 \(X\) 上的偏序 \(R\) 是全序。比如數集上標準的 \(\le\) 是一個全序。
設 \((X,\le)\) 是全序，則存在 \(X\) 的一個排列 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，使得若 \(i,j\) 則 \(a_i\le a_j\)。
如果 \(a<b\) 並且沒有元素 \(c\) 能夠夾在 \(a\) 和 \(b\) 之間，那麼稱 \(a\) 被 \(b\) 覆蓋 。
反鏈是 \(X\) 的一個子集 \(A\)，使得它的任意兩個元素都不可比，鏈是 \(X\) 的一個子集 \(A\)，使得它的任意兩個元素都可比，因此鏈是 \(X\) 的一個全序子集。顯然反鏈和鏈的交集大小小於等於 \(1\)。
若 \(X\) 存在大小為 \(r\) 的反鏈 \(C\)，則\(X\) 的鏈劃分數大於等於 \(r\)。
將 \((X,\le)\) 放在圖上，得到圖 \((V,E)\)，顯然 \((V,E)\) 是一個 DAG，稱一個 偏序集的極小元為所有放在 DAG 上的入度為\(0\) 的元素集合，極大元為所有放在 DAG 上的出度為\(0\) 的元素集合。
Dilworth 定理
先說 Dilworth 定理的對偶定理。
定理 1
設 \((X,\le)\) 是有限偏序集，而 \(r\) 是鏈的最大大小，則 \(X\) 可以被劃分成 \(r\) 個反鏈，但不能劃分成少於 \(r\) 個反鏈。
證明：顯然不能劃分成少於 \(r\) 個反鏈，只需證明有劃分成 \(r\) 個反鏈的構造即可，顯然 \(X\) 的極小元是一個反鏈，然後將其從 \(X\) 中刪去，重複操作即可，恰好劃分為 \(r\) 個反鏈。
定理 2（Dilworth 定理）
設 \((X,\le)\) 是有限偏序集，而 \(r\) 是反鏈的最大大小，則 \(X\) 可以被劃分成 \(r\) 個鏈，但不能劃分成少於 \(r\) 個鏈。
證明：設 \(|X|=m\)。當 \(|X|=1\) 時定理成立。
當 \((X,\le)\) 存在一個大小為 \(m\) 的反鏈 \(A\)，滿足 \(A\) 既不是 \(X\) 的極小元集合，也不是 \(X\) 的極大元集合，設 \(A^{+}\) 表示所有屬於 \(X\) 且滿足 \(a\le x,a\in A\) 的元素集合、\(A^{-}\) 表示所有屬於 \(X\) 且滿足 \(x\le a,a\in A\) 的元素集合。有 \(A^{+}\cap A^{-}=A\)，\(A^{+}\cup A^{-}=X\)，然後將 \(A^{+},A^{-}\)遞迴歸納到下面一種情況中，然後將兩個集合的解拼在一起即可。
當 \((X,\le)\) 不存在一個大小為 \(m\) 的反鏈 \(A\)，滿足 \(A\) 既不是 \(X\) 的極小元集合，也不是 \(X\) 的極大元集合，顯然此時長度為 \(m\) 的反鏈為極小元或極大元。若極小元為長度為 \(m\) 的反鏈，則在DAG 上極小元指出的點的入度大於 \(1\)，此時隨便選擇屬於極小元的元素 \(x\) 和屬於極大元的元素 \(y\)，則 \(X-\{x,y\}\) 的反鏈長最大為 \(m-1\)，繼續遞迴歸納即可，反鏈為極大元同理。