1.前言
這個東西其實就是把國家集訓隊的論文照抄下來，但是由於作者會加一些自己的理解（相當於是加註釋），希望能讓原本晦澀的論文好懂一些，也方便自己複習。
由於我看得比較慢，所以這篇文章可能更新得很慢
2.保序迴歸問題
偏序關係
設 \(R\) 是集合 \(S\) 上的一個二元關係，若 \(R\) 滿足：
- 自反性：\(\forall x\in S\)，有 \(x\space R\space x\)
- 反對稱性：\(\forall x,y\in S\)，若有 \(x\space R\space y,y\space R\space x\)，則有 \(x=y\)
- 傳遞性：\(\forall x,y,z\in S\)，若有 \(x\space R\space y,y\space R\space z\)，則有 \(x\space R\space z\)
那麼就稱為 \(R\) 為 \(S\) 上的非嚴格偏序關係，記作 \(\preceq\)
這個東西感性理解一下就行，\(oier\) 誰管這些定義？
問題描述
我們有一張 \(n\) 個點的表示偏序關係的有向圖，給定兩個代價陣列 \(y\) 和 \(w\)，每條邊表示連線的兩個點之間有直接的偏序關係，那麼圖上兩個點滿足 \(v_i\preceq v_j\) 當且僅當在圖上有一條簡單路徑。
求陣列 \(f\) 滿足 \(\forall v_i\preceq v_j\)，都有 \(f_i\leq f_j\)，那麼最小化迴歸代價：
對於 \(p\) 相同的保序迴歸，我們稱之為 \(L_p\) 問題。
所以為什麼要叫保序迴歸問題？因為他能在保證順序（偏序關係）的情況下最小化迴歸代價
一些約定
將序列 \(z\) 中不超過 \(a\) 的元素變為 \(a\)，不小於 \(b\) 的元素變為 \(b\) 稱為序列 \(z\) 向集合 \(S=\{a,b\}\) 取整
點集 \(U\) 的 \(L_p\) 均值為滿足 \(\sum_{v_i\in U}w_i|y_i-k|^p(1\leq p<\infty)\) 或者 \(\max_{v_i\in U}w_i|y_i-k|\) 最小的 \(k\)
也就是如果一堆點非要選一個相同的 \(f\) 那麼選哪個數會最好。
3.特殊情形下的演算法
一種貪心演算法
例一：題目描述
給定正整數序列 \(y,w\)，求單調不減的實數序列 \(f\)，最小化 \(\sum_{i=1}^nw_i(f_i-y_i)^2\)
\(n\leq 200000\)
例一：解法
本題的偏序關係就是 \(f_i\leq f_j\) 的一條鏈，先給出兩個比較重要的結論。
結論1：點集 \(U\) 的 \(L_2\) 均值為其加權平均數 \(\frac{\sum_{v_i\in U}w_iy_i}{\sum_{v_i\in U}w_i}\)
直接把平方展開之後就是二次函式的最值點。
如果有凸單調性但是更為複雜的函式最值，說不定可以讓導數為 \(0\) 然後反解出那個位置的 \(x\)
結論2：\(\forall 1\leq i<n\)，如果有 \(y_i>y_{i+1}\)，那麼最優解一定有 \(f_i=f_{i+1}\)
證明用到了微調法和反證法，如果在最優解中 \(f_i<f_{i+1}\)，那麼我們選擇極小的 \(\epsilon>0\)，得到的 \(f_i'=f_i+\epsilon w_{i+1},f_{i+1}'=f_{i+1}-\epsilon w_i\)，你可能覺得這樣微調有點奇怪，但是這樣能讓微調的變化取決於 \(y_i\) 和 \(y_{i+1}\) 的關係，展開就知道了：
雖然我不是很懂極限，這個柿子和 \(0\) 的關係取決於一階無窮小的大小，那麼微調後答案變小，所以矛盾。
回到這道題，我們考慮怎麼利用這兩個結論，由於 \(f\) 取等的條件是 \(y_i>y_{i+1}\)，那麼我們可以維護關於 \(y\) 的單調不減的單調棧，如果已知一個集合中的點取的 \(f\) 是相同的，那麼可以把這個集合合併為一個點考慮，最優取值就是其 \(L_2\) 均值，具體的演算法流程是這樣的：
- 維護一個單調棧，棧內的每個元素為 \((S_i,y_i',w_i')\)，分別表示這個元素代表的集合，這個集合的 \(L_2\) 均值，這個集合的 \(w_i\) 的求和。
- 每次就加入 \((\{i\},y_i,w_i)\)，如果有 \(y'_{top}>y_i\)，那麼直接把這兩個集合合併，新集合的 \(L_2\) 均值也可以很好地算出來，那麼把原來的元素刪除，再把 \((\{i\}|S_{top},\frac{y_i+y'_{top}}{w_i+w'_{top}},w_i+w'_{top})\) 加入單調棧中即可，然後繼續看這個元素能不能彈出棧頂。
- 最後 \(f_i\) 就是集合包含 \(i\) 元素的 \(L_2\) 均值（也就是 \(y'_{x}\)）
上述演算法的時間複雜度 \(O(n\log n)\)（因為好像要維護集合），如果能算出 \(L_p\) 均值那麼是可以向 \(L_p(1\leq p<\infty)\) 擴充套件的。
這個演算法的侷限性在於結論 \(2\) 並不是一直適用的，如果換了一個偏序關係就 \(gg\) 了。