Louvain
Introduce
Louvain演算法是社群發現領域中經典的基於模組度最優化的方法，且是目前市場上最常用的社群發現演算法。社群發現旨在發現圖結構中存在的類簇（而非傳統的向量空間）。
Algorithm Theory
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模組度（modularity）
要想理解Louvain演算法需先理解模組度，模組度是衡量一個網路社群劃分好壞的度量指標，可以簡單理解為“給定演算法得到的圖中的社群劃分D，社群內節點的連邊權重和與對應隨機圖中的連邊權重和的差，可以理解為社群內邊權重之於社群間邊權重的比例，當然，社群內邊權重越大，則模組度越大，社群中節點聯絡更加緊密，社群劃分質量越好。”模組度的公式如下所示：
以下均無向無權圖為例，m為圖中的邊數，2m為圖的總度數，A為鄰接矩陣，當兩個節點直接相連時Aij=1，否則Aij=0，ki為節點i的度，δ(ci,cj)為指示函式，當節點i、j位於同一個社群，其為1，否則為0。
公式中比較難理解的是中括號中的第二項，啥意思呢？ 之前提到隨機圖，這邊公式中的第二項指的是隨機圖中度為ki和度為kj的兩個節點相連的概率。得到的社群劃分與隨機圖（無規律，且無明顯社群結構）相差越大，則社群內連線越緊密，社群間連線越稀疏（即社群邊界更明顯），發現的社群質量越好。
好了，模組度就理解到這兒，簡單總結一下，模組度範圍在[-0.5,1)，一般模組度越高，發現的社群質量越好。（原始模組度論文表示當模組度值在0.3~0.7之間時，社群質量好）
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Louvain Flow Chart：
現在進入正題，Louvain演算法的總體框架（流程圖）如下圖所示：
Louvain是一個迭代更新演算法（初始每個節點自成一個社群），每個迭代稱為一個pass，每個pass都包括兩個步驟。即Louvain演算法等價於不斷迭代以下兩個步驟（階段）：
（1）步驟1：首先，為每個節點分配一個單獨的社群。其次對於每個節點i，考慮其鄰居j，計算將節點i歸入節點j所在社群模組度的增益。考慮節點i的所有鄰居，並且將節點i歸入到模組度增益的社群最大。如果節點i歸到他鄰居所在社群都沒有模組度增益（即模組度增益為0或者負數）的話，那節點i仍然留在他原始的社群中。這個過程反覆做，直到改變任何節點的社群標籤都沒有更進一步的模組度增益就停止，停止之後第一階段就結束了。以上最重要的就是要搞懂模組度增益這玩意怎麼算呢？ 模組度增益可以通過以下公式計算。
啥意思呢？我們可以化簡一下得到如下式子：
\Delta Q =[\frac{k_{i,in}}{2m}-\frac{\sum_{tot}k_i}{2m^2}]括號中第一項的意思可以理解為節點i加入鄰居所在社群之後對應社群內的連邊數。括號中第二項的意思可以理解為結點加入鄰居社群後，對應社群間以及社群內的連邊數。最大化該模組度增益，就是最大化這個差，這個差大了，就說明節點i加入到這個鄰居社群之後，使得該社群的內聚度更高了，社群結構越明顯了。emmm，模組度增益最大化大概就是這麼個意思了。
（2）步驟2：演算法的第二階段做的事情是，結合步驟1得到的初始社群劃分建立一個新的網路，新網路的節點是在第一階段發現的初始社群（把社群粗化成一個粗化節點），兩個粗化節點之間的邊由兩個社群原始對應的社群間邊的權重和（無向圖即兩個社群間相連的邊數），同一社群節點之間的連邊權重生成這個社群粗化節點的一個自環邊。一旦完成了第二階段，就將構成的新的網路輸入第一階段再進行迭代（因為粗化（層次的概念），每次網路中的初始社群數會變小，因此後面迭代的速度會更快）。
至此，Louvain演算法介紹結束。
Reference
- Blondel V D, Guillaume J L, Lambiotte R, et al. Fast unfolding of communities in large networks[J]. Journal of statistical mechanics: theory and experiment, 2008, 2008(10): P10008.
- 社群發現演算法——louvain完全解讀
- 模組度與Louvain社群發現演算法