二維偏序問題

TanHaoren發表於2024-08-17

偏序關係：

大概就是，滿足自反性，反對稱性，傳遞性。
將嚴格偏序關係建圖，可以得到一個DAG（有向無環圖）

二維偏序問題是：給定 \(n\) 個元素，每個元素有\(2\)個屬性，定義某種偏序關係，對於所有 \(x_i\) ，求 \(x_j \prec x_i\) 的數量。

一種基本的操作方法是，某個屬性按大小排序，另一個屬性利用樹狀陣列/線段樹進行數量，求和等操作。這種處理方式要依靠在詢問可以離線的前提下。

這裡有個經典例題，二維數點問題。

P2163 [SHOI2007] 園丁的煩惱

大概題意：

第一行有兩個整數 \(n, m\)，分別表示點個數和詢問次數。
接下來 \(n\) 行，每行兩個整數 \(x, y\)，表示存在座標為 \((x, y)\) 的點。有可能存在點位於同一座標。
接下來 \(m\) 行，每行四個整數 \(a, b, c, d\)，表示查詢以 \((a, b)\) 為左下角，\((c, d)\) 為右上角的矩形內部（包括邊界）有多少個點。
\(0 \le n \le 5 \times 10^5\)，\(1 \le m \le 5 \times 10^5\)，\(0 \le x, y, a, b, c, d \le 10^7\)，\(a \le c\)，\(b \le d\)。

初步的想法：對於 \(n\) ，\(m\) 較小的情況，可以用二維字首和。

可以巧妙的用每個點 \(x\) 值的處理順序，分隔開詢問矩形的 \(x\) 區間的影響。對於 \(y\) 值，用樹狀陣列查詢需要的範圍。

可以想到以下做法：

對所有的詢問離線。將每個矩形拆分成 \((a-1,b-1)(a-1,d)(c,b-1)(c,d)\) 四個點，像字首和一樣算貢獻。
依次處理每一個點，將詢問點中 \(x’\) 之前的點的 \(y\) 值全部加入樹狀陣列中，在查詢 \(y'\) 計算貢獻。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return f*x;
}
int n,m;
int cnt1;
struct node{
    int x,y;
    int id,ff;
    bool operator<(const node& p)const{
        if(x==p.x)return y<p.y;
        else return x<p.x;
    }
}a[N],b[N*4];
int ans[N];
int mp[N*3],len;
int c[N*3];
inline int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
inline void upd(int x,int w){
    for(int i=x;i<=len;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=w;
    }
}
inline int qur(int x){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        res+=c[i];
    }
    return res;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].x=read(),a[i].y=read();
        mp[++len]=a[i].y;
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int xa=read(),ya=read(),xb=read(),yb=read();
        b[++cnt1]={xa-1,ya-1,i,1};
        b[++cnt1]={xa-1,yb,i,-1};
        b[++cnt1]={xb,ya-1,i,-1};
        b[++cnt1]={xb,yb,i,1};
        mp[++len]=ya-1,mp[++len]=yb;
    }
    sort(b+1,b+1+cnt1);
    sort(mp+1,mp+1+len);
    len=unique(mp+1,mp+1+len)-mp-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].y=lower_bound(mp+1,mp+1+len,a[i].y)-mp;
    }
    for(int i=1;i<=cnt1;i++){
        b[i].y=lower_bound(mp+1,mp+1+len,b[i].y)-mp;
    }
    int now=0;
    for(int i=1;i<=cnt1;i++){
        int x=b[i].x,y=b[i].y;
        int id=b[i].id,ff=b[i].ff;
        while(now+1<=n&&a[now+1].x<=x){
            now++;
            upd(a[now].y,1);
        }
        ans[id]+=qur(y)*ff;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

當然，更多的並不是這樣明顯的二維偏序關係，常常需要觀察得出偏序關係是什麼，應該怎麼處理。

例題1：P8844 [傳智杯 #4 初賽] 小卡與落葉

我寫的：做法

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