偏序 分塊+bitset

liuchanglc發表於2020-08-23

題目描述

給定一個有\(n\)個元素的序列，元素編號為\([1,n]\)，每個元素有\(k\)個屬性\(p_1,p_2,p_3,...,p_k\) ，求序列中滿足 \(i<j\)且 \(1 \leq t \leq k\),\(p_{t,i}<p_{t,j}\) 的數對\((i,j)\)的個數。

輸入格式

第一行兩個整數 \(n\)，\(k\)，表示序列長度和屬性個數。

接下來\(k\) 行，每行 \(n\)個整數，第\(t\) 行第 \(i\)個數表示\(p_{t,i}\) 。

輸出格式

共1行，表示滿足要求的數對個數。

樣例

樣例輸入

5 4
1 4 5 2 3
3 5 2 1 4
2 3 4 1 5
2 3 1 5 4

樣例輸出

2

資料範圍與提示

對於\(30\%\)的資料\(n \leq 5000\),\(k \leq 6\)

對於\(100\%\)的資料\(1 \leq n \leq 40000\)，\(k \leq 6\)。保證對於所有元素的\(p_t\)屬性組成一個\(1 - n\)的排列。

分析

這道題算上座標的話，維數達到了\(7\)維

如果用一些資料結構去維護的話，很可能會超時

其實我們用 \(bitset\) 就可以搞定這道題

對於每一維，我們用 \(bitset\) 去儲存小於\(i\)的數所在的位置

最後對於每一個位置\(i\)，我們將這幾個維度作位與運算

最後統計下標小於\(i\)的位置中\(1\)的個數

這樣去處理時間複雜度為\(O(n \times k)\)，空間複雜度為\(O(n^2 \times k)\)

而\(40000 \times 40000 \times 6\) 的\(bitset\)我們顯然是開不下的

因此我們考慮用時間換空間

我們可以用分塊的思想將時間複雜度和空間複雜度都均衡至\(O(nlogn\times k)\)

程式碼

#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cmath>
#include <iostream>
const int maxn = 4e4 + 5;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
int n, m, a[8][maxn], rk[8][maxn], blo;
std::bitset<maxn> b[8][305], now, js, ws;
int main() {
    n = read(), m = read();
    blo = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            a[i][j] = read();
            rk[i][a[i][j]] = j;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j * blo <= n; j++) {
            b[i][j] = b[i][j - 1];
            for (int k = (j - 1) * blo + 1; k <= j * blo; k++) {
                b[i][j].set(rk[i][k]);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    ws.reset();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        now.set();
        ws.set(i);
        now &= ws;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int shuyu = a[j][i] / blo;
            js.reset();
            js |= b[j][shuyu];
            for (int k = shuyu * blo + 1; k <= a[j][i]; k++) {
                js.set(rk[j][k]);
            }
            now &= js;
        }
        ans += now.count() - 1;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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