中介因果效應分解 彙總與理解
1. 前言
在學習因果推斷相關文章時[4,5]，對因果效應的分解產生了一些困惑，查閱相關資料[1,2,3]後，將因果效應分解的相關概念彙總形成此文，希望幫助有需要的同學理清概念，加深理解。
關於因果推斷更基礎的知識請參考相關書籍[6,7]。
2. 問題描述
中介效應，是指在因果模型中，Treatment X 對Outcome Y的因果效應可能有一部分是通過中介變數M（Mediation）傳遞過去的。例如：
- 抽菸（X），患肺癌（Y），血脂水平（M）
- 國家（X），新冠死亡率（Y），新冠患者年齡分佈（M）[8]，參見【因果推斷論文】中國新冠死亡率更高？- 新冠死亡率的辛普森悖論
- 物品的曝光特徵（如文章標題、視訊封面）（X），使用者對物品的興趣（X），使用者的點選行為（Y）[4]
- 服用藥物（X），病情緩解（Y），阿司匹林服用量（M）[1]，參見【因果推斷經典論文】Direct and Indirect Effects - Judea Pearl
- 服用藥物有一個副作用——頭痛，這會導致患者服用阿司匹林的劑量增加。而阿司匹林的服用劑量增加有利於藥物效果的發揮。
在這種因果模型中，我們感興趣的問題是，X對Y的因果效應中，有多大比例是通過M傳遞過去的？
- 中介效應分析對於政策制定[1]、理解資料[8]都有重要作用。
- 例如
- 藥物（X）對病情（Y）的影響有多少是通過阿司匹林劑量（M）造成的？藥物（X）通過直接路徑有多大效果？如果副作用被消除，藥物的效果會受到多大影響？[1]
- 不同國家（X）之間新冠死亡率的差異（Y）有多少是由於患者年齡分佈（M）造成的？[8]
3. 符號定義
當\(X=x，M=m\)時，Y的取值記為\(Y_{xm}\)。
當\(X=x\)時，M的取值記為\(M_x\)。
簡單起見，假設X是二元變數，例如：
- 當\(X=1,M\)取\(X=1\)時M的值時，Y的取值記為\(Y_{1M_1}\)。
- 當\(X=1,M\)取\(X=0\)時M的值時，Y的取值記為\(Y_{1M_0}\)。
在很多論文中，也將X=1記為X=x，將X=0記為\(X=x^\star\)，對應的，\(M_1\)記為m，\(M_0\)記為\(m^\star\)，則\(Y_{1M_1}\)記為\(Y_{xm}\)，\(Y_{1M_0}\)記為\(Y_{xm^\star}\)。
4. 總體效應、直接效應與間接效應
以下以第二部分敘述過的藥物和阿司匹林的例子[1]來說明各個效應的含義。
總體效應（Total Effect, TE）：
- 服用藥物對病情緩解整體上有多大作用？
控制直接效應（Controlled Direct Effect, CDE）：
- 如果在服用藥物時，囑咐患者將阿司匹林用量調整到m，則藥物會有多大作用？
- 注意這裡的m是人為定義的，既不是服藥前的自然用量，也不是服藥後的自然用量，相當於\(do(M=m)\)
- 由於控制變數——阿司匹林用量是被人為控制的，不是自然的，且衡量的是直接路徑的影響（控制了中介變數為m），因此稱為“控制直接效應”。
自然直接效應（Natural Direct Effect, NDE or Pure Direct Effect, PDE）:
- 如果病人在服用藥物的同時，保持阿司匹林服用量不變（不因為藥物副作用而改變阿司匹林用量），則藥物會有多大效果？
- 保持阿司匹林的服用量和服藥之前一致，這個用量對於不同患者來說是不同的——患者由於基礎疾病和身體情況不同，有各自不同的用藥習慣。
- 由於控制變數——阿司匹林用量是“自然”的，且衡量的是直接路徑的影響（控制了中介變數為\(M_0\)），因此稱為“自然直接效應”。
自然間接效應（Natural Indirect Effect, NIE or Pure Indirect Effect, PIE）：
- 如果病人不服藥，但是將阿司匹林用量調整到服藥後的量，病情會有多大程度的緩解？
- 只調整阿司匹林的量，估計通過間接路徑產生的因果效應。
- 由於控制變數——不服藥是“自然”的，且衡量的是間接路徑的影響（控制了服藥量為0），因此稱為“自然間接效應”
總體直接效應（Total Direct Effect, TDE）
- 服藥且改變阿司匹林用量，與只改變阿司匹林用量相比，治療效果有多大提升？
- 控制阿司匹林用量都是服藥後的量，比較服藥和不服藥的區別。
- 控制變數——阿司匹林用量是服藥後的自然服用量（包含了服藥的影響），且衡量的是直接路徑的影響（控制了中介變數為\(M_1\)），因此稱為“總體直接效應”。
總體間接效應（Total Indirect Effect, TIE）
- 在服藥的條件下，因為副作用而增加阿司匹林用量對治療效果有影響嗎？
- 控制變數——服藥量為1（不是自然情況，自然情況應該是0），衡量的是間接路徑的影響，稱為“總體間接效應”。
5. 總體效應的分解
總體效應TE可以被分解為直接效應和間接效應[1,2]，或分解為直接效應、間接效應和互動效應[3]。[9]
分析\(\left[ \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right)}_{T I E} - \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E} \right]\)這一項：
- 如果\(M_1\) = \(M_0\)，則此項為0，且總體間接效應和自然間接效應都為0——中介變數不帶變的，就沒有間接效應了。
- 如果\(M_1=1, M_0 = 0\)，則
- 如果\(M_1=0, M_0 = 1\)，則
因此，(7)式可進一步推導為：
至此，我們得到了非線性模型總體效應的分解方法：
- 分解為直接效應和間接效應[1]，有總體直接效應+自然間接效應和自然直接效應+總體間接效應兩種。
- 分解為直接效應、間接效應和互動效應[3]，則是自然直接效應+自然間接效應+互動效應。
如果是線性模型，則互動效應為0，\(NDE=TDE, NIE=TIE\)。[1,2,3]
參考文獻
[1] J. Pearl, “Direct and indirect effects,” in Proc. 17th Conf. Uncertainty Artif. Intell., 2001, pp. 411–420
[2] Robins J M, Greenland S. Identifiability and exchangeability for direct and indirect effects[J]. Epidemiology, 1992: 143-155.
[3] VanderWeele T J. A three-way decomposition of a total effect into direct, indirect, and interactive effects[J]. Epidemiology (Cambridge, Mass.), 2013, 24(2): 224.
[4] Wang W, Feng F, He X, et al. Clicks can be cheating: Counterfactual recommendation for mitigating clickbait issue[C]//Proceedings of the 44th International ACM SIGIR Conference on Research and Development in Information Retrieval. 2021: 1288-1297.
[5] Wei T, Feng F, Chen J, et al. Model-agnostic counterfactual reasoning for eliminating popularity bias in recommender system[C]//Proceedings of the 27th ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery & Data Mining. 2021: 1791-1800.
[6] Pearl J, Glymour M, Jewell N P. Causal inference in statistics: A primer[M]. John Wiley & Sons, 2016.
[7] Imbens G W, Rubin D B. Causal inference in statistics, social, and biomedical sciences[M]. Cambridge University Press, 2015.
[8] von Kügelgen J, Gresele L, Schölkopf B. Simpson's paradox in Covid-19 case fatality rates: a mediation analysis of age-related causal effects[J]. IEEE Transactions on Artificial Intelligence, 2021, 2(1): 18-27.
[9] Direct and Indirect Effects 饅頭and花捲 部落格園 https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/14615052.html