網路：任意一張有向圖，其中有N個點，M條邊，源點S，匯點T
我們把c(x,y)稱為容量，
把f(x,y)稱為流量。
流函式的三大性質：
容量限制：每條邊的流量總不可能大於該邊的容量
f(x,y)<=c(x,y)
斜對稱：正向邊的流量=反向邊的流量
f(x,y)=-f(y,x)
流量守恆：正向的所有流量和=反向的所有流量和
Any x!=S,x!=T,∑(u,x)∈E f(u,x)=∑(x,v)∈E f(x,v)
在任意時刻，網路中所有節點以及剩餘容量大於0的邊構成的子圖被稱為殘量網路.
合法的流函式有很多，其中使得整個網路流量之和最大的流函式稱為網路的最大流，此時的流量和被稱為網路的最大流量
EK演算法：
若一條從S到T的路徑上所有邊的剩餘容量都大於0，則稱這樣的路徑為一條增廣路
EK演算法的思想就是不斷用BFS尋找增廣路並不斷更新最大流量值，直到網路上不存在增廣路為止
我們不斷尋找剩餘流量大於零的邊，尋找從S到T的路徑，計算路徑上各邊剩餘容量值的最小值dis，則網路的最大流量就可以增加dis，
（經過的正向邊容量值全部減去dis，反向邊全部加上dis）
反向邊：給程式一個反悔的機會，防止直接更改值影響到之後尋找另外的增廣路
我們新增正向邊的同時新增反向邊，更新邊權的時候，我們就可以直接使用xor1的方式，找到對應的正向邊和反向邊（奇數異或1相當於-1，偶數異或1相當於+1）
程式碼：
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=501000;
long long n,m,s,t;
struct node{
long long next,v,w;
}e[N];
long long tot=1,vis[N],pre[N],head[N],flag[2506][2506];
long long ans,dis[N];
long long bfs(){
for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
queue <long long> q;
q.push(s);
vis[s]=1;
dis[s]=0x3f3f3f3f;
while(!q.empty()){
long long x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
if(!e[i].w) continue;
long long v=e[i].v;
if(vis[v]) continue;
dis[v]=min(dis[x],e[i].w);
pre[v]=i;
q.push(v);
vis[v]=1;
if(v==t) return 1;
}
}
return 0;
}
void update(){
long long x=t;
while(x!=s){
long long v=pre[x];
e[v].w-=dis[t];
e[v^1].w+=dis[t];
x=e[v^1].v;
}
ans+=dis[t];
}
void add(long long u,long long v,long long w){
e[++tot].v=v;
e[tot].w=w;
e[tot].next=head[u];
head[u]=tot;
e[++tot].v=u;
e[tot].w=0;
e[tot].next=head[v];
head[v]=tot;
}
int main(){
cin>>n>>m>>s>>t;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
if(!flag[u][v]){
add(u,v,w);
flag[u][v]=tot;
}
else{
e[flag[u][v]-1].w+=w;
}
}
while(bfs()!=0){
update();
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
Dinic
應用BFS生成分層圖，然後用DFS實現多路增廣。
程式碼：
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long INF=2019202408;
const int N=500010;
long long n,m,s,t;
long long tot=1,head[N];
struct node{
long long v,w,next;
}e[N<<2];
long long flag[2600][2600];
long long d[N];
long long vis[N],dis[N],now[N];
long long ans;
int bfs(){
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;
queue<long long> q;
q.push(s);
dis[s]=0;
now[s]=head[s];
while(q.size()){
long long x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(e[i].w>0&&dis[v]==INF){
q.push(v);
now[v]=head[v];
dis[v]=dis[x]+1;
if(v==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int x,long long sum){
if(x==t) return sum;
int k,res=0;
for(int i=now[x];i&∑i=e[i].next){
now[x]=i;
int v=e[i].v;
if(e[i].w>0&&(dis[v]==dis[x]+1)){
k=dfs(v,min(sum,e[i].w));
if(k==0) dis[v]=INF;
e[i].w-=k;
e[i^1].w+=k;
res+=k;
sum-=k;
}
}
return res;
}
void add(int u,int v,long long w){
e[++tot].v=v;
e[tot].w=w;
e[tot].next=head[u];
head[u]=tot;
e[++tot].v=u;
e[tot].w=0;
e[tot].next=head[v];
head[v]=tot;
return ;
}
int main(){
cin>>n>>m>>s>>t;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
if(!flag[u][v]){
add(u,v,w);
flag[u][v]=tot;
}
else{
e[flag[u][v]-1].w+=w;
}
}
while(bfs()){
ans+=dfs(s,INF);
}
cout<<ans;
return 0;
}