2.27 二分圖與網路流複習

可能會有一些有一點用的 trick 的整理與複習。很少，很不繫統。

1 Dinic 最佳化

• 給 bfs 和 dfs 加上當前弧最佳化。但是此時要一定注意在遍歷時，\(rest=0\) 退出迴圈需要在迴圈內寫，而非在 for 中的條件寫。

• 對邊權排序後分段。Dinic 很多時候慢是因為邊權差距太大了。於是我們不斷設一個 \(\lim\)，從 \(\max\) 開始，不斷除以一個 \(c\)，然後每次加入邊權 \(\ge lim\) 的邊，跑一次 Dinic。在 \(c=2\) 的時候似乎複雜度可證明是 \(O(nm\log )\) 的。但是實際上 \(c\) 大一點反而更快。

• 先對只加正向邊，然後對所有正向邊跑（注意此時仍然要把反向邊的流量給加上去）。跑完之後再加入所有反向邊跑。

• 不要使用前向星。

個人認為上述東西不是很有用。如果正常考到應該無法使用上述方法獲得更高的分數。

https://loj.ac/s/2015257

2 二分圖獨立集與覆蓋集

• 點覆蓋為：用點覆蓋邊

• 二分圖最大匹配等於最小點覆蓋，下面給出構造：

  1. 找到一組匹配
  2. 找到所有未匹配的左部點
  3. 從它們出發，跑增廣路
  4. 未訪問的左部點與訪問的右部點構成最小點覆蓋
  5. 大概的理解：對於匹配邊兩側恰好只有一個被選，且每條邊都被覆蓋了。

• 二分圖的最大獨立集，為最小點覆蓋的補集

• 二分圖的最小邊覆蓋（無孤立點）大小，為最大獨立集大小，下面給出構造：

  1. 所有匹配邊全選
  2. 所有未匹配點隨便選一條邊

• 最長反鏈與最小鏈覆蓋

  1. 考慮拆點後，out 為左部點，in 為右部點，於是 \(u\to v\) 可以連邊 \((out_u,in_v)\)
  2. 於是在最大匹配上的邊即在鏈上的邊，所以最小鏈覆蓋等於 \(n-\) 最大匹配。
  3. 根據 Dilworth 那套理論，我們求出傳遞閉包後，最長反鏈等於最小鏈覆蓋。構造只要選出 in 與 out 都屬於最大獨立集即可。

3 最小割可行邊與必經邊

• 時間複雜度十分充裕的時候：每條邊都刪掉/強選跑一跑即可

• 考慮保留所有容量非 \(0\) 的邊作為殘量網路 \(G'\)

• 最小割可行邊：原圖滿流，且 \(G'\) 不存在 \(u\to v\) 路徑

• 最小割必經邊：原圖滿流，且 \(G'\) 存在 \(s\to u\) 與 \(v\to t\) 的路徑

• 實現方法：對 \(G'\) 跑 SCC，由於逆向邊存在，所以只需要判斷是否在同一 SCC 即可。

4 二分圖博弈

• 匹配可行邊：為匹配邊，或 \(u,v\) 在同一 SCC

• 匹配必經邊：為匹配邊，且 \(u,v\) 不在同一 SCC

• 匹配必經點：為匹配點，且與該部的源不屬於同一 SCC

• 先手必勝點，一定為匹配必經點：先手只要不斷沿著匹配邊走即可，而後手無法逆轉

5 上下界網路流

• 大體思路：對於每個點，考慮入邊 \(\sum l_e\) 與出邊 \(\sum r_e\)。如果 \(\sum l_e\) 大，那麼就從新源點 \(S'\) 向這個點連 \(\sum l_e-\sum r_e\) 的邊，否則就連向新匯點。然後就能以 \(r_e-l_e\) 建剩餘的邊了。

• 無源匯可行流這樣就能跑了，只需要源匯連線的滿流即意味著流量平衡。

• 有源匯考慮源匯可以不守恆，那麼只需要建一條原匯到原源的 \(\infty\) 的邊即可。

• 考慮限制最大流。我們在新圖上跑可行流，然後得到殘量網路。由於已經滿足流量限制，所以我們直接再在殘量網路上跑 原源到原匯的流，加到答案上即可。

• 考慮限制最小流。其實差不多，只不過我們要改成退流，即跑原匯到原源的流，然後從答案中減去即可。