我的研究也經常用的Assignment problem，而且很多問題都能轉化為指派問題。比如輪灌和滴灌問題（對噴頭分組，每組噴頭負責一部分割槽域，從而使得區域覆蓋最大，同時還有很多其他約束），這個問題在國內尚屬空白，而且找不到任何程式碼~筆者已經實現了均衡約束的輪灌、滴灌演算法~當時幫新疆的一個同學做的（基於粒子群），沒想到我竟然真的做了出來~所以你只要給我數學模型或者說讓我聽懂你的問題就能幫你做出來
我以前寫的非常火爆的粒子群的帖子： https://www.cnblogs.com/hxsyl/p/4521778.html
1. 問題陳述
指派問題又稱分配問題，其用途非常廣泛，比如某公司指派n個人去做n件事，各人做不同的事，如何安排人員使得總費用最少？若考慮每個職工對工作效率（如熟練程度等），怎樣安排會使總銷量達到最大？這些都是一個企業經營管理者必須考慮的問題，所以該問題有重要的應用價值。
假設有n件工作分派給n個人來做，每項工作只能由一人來做，每個人只能做一項工作。若給出各人對各項工作所具有的工作效率。問應該如何安排人選，及發揮個人特長又能使總的效率最大。為此用0-1整數規劃來實現指派問題即如何安排人選。
2. 指派問題的背景
在現實生活中，有各種性質的指派問題（Assignment Problem）。例如，在生產管理中，總希望把人員進行最佳分配，以發揮最大的工作效率；某部門有n項任務要完成，而該部門正好有n個人可以分別去完成其中任何一項，但由於任務性質和個人的專長不同，因此各人完成各項不同任務的效益（所費時間或所花費用）也有差別，如果分配每個人完成一項任務且僅為一項任務，則把每項任務分配給哪個人去完成，使完成所有n項任務的總效益為最高（總時間、總費用為最小或創造的價值最大）？這是典型的分配問題或指派問題。又如有n項加工任務，怎樣指定n臺機器分別去完成，以使總的加工時間最少或總收入最大；有n條航線，怎樣指定n艘船分別航行，使總收入最大，等等，都屬於指派問題。
3. 指派問題的描述
3.1 指派問題的一般形式
指派問題的標準形式（以人和事為例）如下。有n個人和n項任務，已知第i個人做第j件事的費用為，要求確定人和事之間的一一對應的指派方案，使完成這n項任務的費用最少。
一般把目標函式的係數寫為矩陣形式，稱矩陣
為係數矩陣（Coefficient Matrix），也稱為效益矩陣或價值矩陣。矩陣的元素（i,j=1,2,…n）表示分配第i個人去完成第j項任務時的效益。一般地，以表示給定的資源分配用於給定活動時的有關效益（時間，費用，價值等），且
3.2 問題的數學模型一般形式
在模型中，約束條件式（2）表示每個人只能做一件事，約束條件式（3）表示每件事只能由一個人去做。
對於問題的每個可行解，可用解矩陣來表示：
當然，作為可行解，矩陣的每列元素中都有且只有一個1，以滿足約束條件式（3）。每行元素中也有且只有一個1，以滿足約束條件（2）。指派問題n!個可行解。
4．指派問題實現
4.1 匈牙利演算法
4.1.1 匈牙利演算法的理論基礎
定理1 如果從分配問題的效率矩陣[]的每一行元素中分別減去（或加上）一個常數，從每一列中分別減去（或加上）一個常數，得到一個新的效率矩陣[]，則以[]為效率矩陣的分配問題與以[]為效率矩陣的分配問題具有相同的最優解。
定理2 若矩陣A的元素可以分為‘0’與‘非0’的兩部分，則覆蓋‘0’元素最少直線數等於位於不同行不同列的‘0’元素的最大個數。
4.1.2匈牙利演算法的實現步驟
第一步：找出矩陣每行的最小元素，分別從每行中減去這個最小元素；
第二步：再找去矩陣每列的最小元素，分別從各列減去這個最小元素；
第三步：經過這兩步變換後，矩陣的每行每列至少都有了一個零元素，接著根據以下準則進行試指派，找出覆蓋上面矩陣中所有零元素至少需要多少條直線；
（1）從第一行開始，若該行只有一個零元素打上（）號。對打（）號零元素所在列劃一條直線。若該行沒有零元素或有兩個以上零元素（已劃去的不計在內），則轉下一行，一直到最後一行為止；
（2）從第一列開始，若該列只有一個零元素就對這個零元素打上（）號（同樣不考慮已劃去的零元素），對打（）號零元素所在行劃一條直線。若該列沒有零元素或 還有兩個以上零元素，則轉下一列，並進行到最後一列；
（3）重複（1）、（2）兩個步驟，可能出現三種情況：
① 矩陣每行都有一個打（）號零元素，很顯然，按照上述步驟得到的打（）的零元素都位於不同行不同列，因此就找到了問題的答案；
② 有多於兩行或兩列存在兩個以上零元素，即出現了零元素的閉迴路，這個時候可順著閉迴路的走向，對每個間隔的零元素打上（）號，然後對所有打（）號零元素或所有列或所在行劃一條直線。
③ 矩陣中所有零元素或打上（）號，或被劃去，但打（）號零元素個數小於m。
第四步：為了設法使每行都有一個打（）的零元素，就要繼續對矩陣進行變換；
（1）從矩陣未被直線覆蓋的元素找出最小元素k；
（2）對矩陣的每行，當該行有直線覆蓋時，令=0，無直線覆蓋的，令=k；
（3）對矩陣的每列，當該列有直線覆蓋時，令=-k，無直線覆蓋的，令=0；
（4）得列一個變換後的矩陣，其中每個元素=--。
第五步：回到第三步，反覆進行，一直到矩陣中每一行都有一個打（）的零元素為止，即找到最優分配方案為止。
4.1.3 匈牙利演算法實現指派問題
為了便於對模型進行求解與分析，假設有4件事4個人去做，各變數對應的資料假設如表1。
表1 每個人完成各項任務需要的時間
|
人 |
任務 |
|||
|
A |
B |
C |
D |
|
|
甲 |
25 |
29 |
31 |
42 |
|
乙 |
39 |
38 |
26 |
20 |
|
丙 |
34 |
27 |
28 |
40 |
|
丁 |
24 |
42 |
36 |
23 |
所以最優解為x11，x23，x32，x44，即甲負責任務A，乙負責任務C，丙負責任務B，丁負責任務D，可以使總花費時間最少。代入求出目標函式值
Z=25+26+27+23=101。
4.2 0-1整數規劃
0-1規劃（0-1 Programming）一種特殊形式的整數規劃 。這種規劃的決策變數僅取值0或1，故稱為0-1變數或二進位制變數 ，因為一個非負整數都可以用二進位制記 數法用若干個0-1變數表示 。0-1變數可以數量化地描述諸如開與關、取與棄、有與無等現象所反映的離散變數間的邏輯關係、順序關係以及互斥的約束條件 ，因此0-1規劃非常適合描述和解決如線路設計 、工廠選址 、生產計劃安排、旅行購物、揹包問題、人員安排、程式碼選取、可靠性等人們所關心的多種問題。實際上，凡是有界變數的整數規劃都可以轉化為0-1規劃來處理。當然也包括運籌學中的指派問題。
4.2.1 模型假設
為了便於對模型進行求解與分析，假設有4件事4個人去做，各變數對應的資料假設如表1。
表1 每個人完成各項任務需要的時間
|
人 |
任務 |
|||
|
A |
B |
C |
D |
|
|
甲 |
25 |
29 |
31 |
42 |
|
乙 |
39 |
38 |
26 |
20 |
|
丙 |
34 |
27 |
28 |
40 |
|
丁 |
24 |
42 |
36 |
23 |
表2 變數假設
|
i |
第i個人 |
|
j |
第j項任務 |
|
第i個人分配第j項任務 |
|
|
=1 |
第i個人被分配去做第j項任務 |
|
=0 |
第i個人不被分配到第j項任務 |
4.2.2 模型建立
由此，建立的數學模型為：
5. 進一步思考
其實實際中每個工人要做多個任務，否則對於發起者來說成本太高了。而且考慮到任務的完成質量，每個任務要由多個人去做~那麼該如何實現呢？是不是聽起來感覺很簡單的樣子，做起來又不會做了呢？哈哈哈，這就是我存在的價值~幫您解決您的個性化的問題