**齊次五項和**
◆◆◆◆◆◆
《一》**下式的X,Y,Z,T,V只有唯一解：X= -1, Y= -2, Z=3, T=4, V= -5**。
◆◆◆
『示意圖』
※※※
27(n-2)+41(n-3)
=
(n)+(n-1)+106(n-4)+120(n-5)。
※※※
說明：27(n-2)=27[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)+V^(n-2)]，如此類推。
◆◆◆
27[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)+V^(n-2)]+41[X^(n-3)+Y^(n-3)+Z^(n-3)+T^(n-3)+V^(n-3)]
=
(X^n+Y^n+Z^n+T^n+V^n)+
[X^(n-1)+Y^(n-1)+Z^(n-1)+T^(n-1)+V^(n-1)]+
106[X^(n-4)+Y^(n-4)+Z^(n-4)+T^(n-4)+V^(n-4)]+
120[X^(n-5)+Y^(n-5)+Z^(n-5)+T^(n-5)+V^(n-5)]。
特別指出：n任意。
◆◆◆
n=7；
※※※
27[(-1)^5+2^5+(-3)^5+(-4)^5+5^5]+41[(-1)^4+2^4+(-3)^4+(-4)^4+5^4]
=
[(-1)^7+2^7+(-3)^7+(-4)^7+5^7]+
[(-1)^6+2^6+(-3)^6+(-4)^6+5^6]+
106[(-1)^3+2^3+(-3)^3+(-4)^3+5^3]+
120[(-1)^2+2^2+(-3)^2+(-4)^2+5^2]。
※※※
91,142=91,142。
◆◆◆
n=8；
※※※
27[(-1)^6+2^6+(-3)^6+(-4)^6+5^6]+41[(-1)^5+2^5+(-3)^5+(-4)^5+5^5]
=
[(-1)^8+2^8+(-3)^8+(-4)^8+5^8]+
[(-1)^7+2^7+(-3)^7+(-4)^7+5^7]+
106[(-1)^4+2^4+(-3)^4+(-4)^4+5^4]+
120[(-1)^3+2^3+(-3)^3+(-4)^3+5^3]。
※※※
631,354=631,354。
◆◆◆
n=9；
※※※
27((-1)^7+2^7+(-3)^7+(-4)^7+5^7)+41((-1)^6+2^6+(-3)^6+(-4)^6+5^6)
=
[(-1)^9+2^9+(-3)^9+(-4)^9+5^9]+
[(-1)^8+2^8+(-3)^8+(-4)^8+5^8]+
106[(-1)^5+2^5+(-3)^5+(-4)^5+5^5]+
120[(-1)^4+2^4+(-3)^4+(-4)^4+5^4]。
※※※
2,452,502=2,452,502。
◆◆◆◆◆◆
《二》**下式的X,Y,Z,T,V只有唯一解：X= -1, Y=2, Z= -3, T= -4, V=5**。
◆◆◆
『示意圖』
※※※
27(n-2)+13(n-3)
=
(n)+(n-1)+134(n-4)+120(n-5)。
※※※
說明：27(n-2)=27[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)+V^(n-2)]，如此類推。
◆◆◆
27[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)+V^(n-2)]+13[X^(n-3)+Y^(n-3)+Z^(n-3)+T^(n-3)+V^(n-3)]
=
(X^n+Y^n+Z^n+T^n+V^n)+
[X^(n-1)+Y^(n-1)+Z^(n-1)+T^(n-1)+V^(n-1)]+
134[X^(n-4)+Y^(n-4)+Z^(n-4)+T^(n-4)+V^(n-4)]+
120[X^(n-5)+Y^(n-5)+Z^(n-5)+T^(n-5)+V^(n-5)]。
特別指出：n任意。
◆◆◆
n=7；
※※※
27[(-1)^5+(-2)^5+3^5+4^5+(-5)^5]+13[(-1)^4+(-2)^4+3^4+4^4+(-5)^4]
=
[(-1)^7+(-2)^7+3^7+4^7+(-5)^7]+
[(-1)^6+(-2)^6+3^6+4^6+(-5)^6]+
134[(-1)^3+(-2)^3+3^3+4^3+(-5)^3]+
120[(-1)^2+(-2)^2+3^2+4^2+(-5)^2]。
※※※
−38,330= −38,330。
◆◆◆
n=8；
※※※
27[(-1)^6+(-2)^6+3^6+4^6+(-5)^6]+13[(-1)^5+(-2)^5+3^5+4^5+(-5)^5]
=
[(-1)^8+(-2)^8+3^8+4^8+(-5)^8]+
[(-1)^7+(-2)^7+3^7+4^7+(-5)^7]+
134[(-1)^4+(-2)^4+3^4+4^4+(-5)^4]+
120[(-1)^3+(-2)^3+3^3+4^3+(-5)^3]。
※※※
529,322=529,322。
◆◆◆
n=9；
※※※
27[(-1)^7+(-2)^7+3^7+4^7+(-5)^7]+13[(-1)^6+(-2)^6+3^6+4^6+(-5)^6]
=
[(-1)^9+(-2)^9+3^9+4^9+(-5)^9]+
[(-1)^8+(-2)^8+3^8+4^8+(-5)^8]+
134[(-1)^5+(-2)^5+3^5+4^5+(-5)^5]+
120[(-1)^4+(-2)^4+3^4+4^4+(-5)^4]。
※※※
−1,344,746= −1,344,746。
◆◆◆◆◆◆
完

齊次五項和

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