**齊次四項和**
◆◆◆◆◆◆
《一》下式的X,Y,Z,T只有**唯一解：X= -1, Y=2, Z=3, T= -5**。
◆◆◆
19[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)]
=
(X^n+Y^n+Z^n+T^n)+
[X^(n-1)+Y^(n-1)+Z^(n-1)+T^(n-1)]+11×
[X^(n-3)+Y^(n-3)+Z^(n-3)+T^(n-3)]+30×
[X^(n-4)+Y^(n-4)+Z^(n-4)+T^(n-4)]。
特別指出：n任意。
◆◆◆
n=6；
※※※
19[(-1)^4+2^4+3^4+(-5)^4]
=
[(-1)^6+2^6+3^6+(-5)^6]+
[(-1)^5+2^5+3^5+(-5)^5]+11×
[(-1)^3+2^3+3^3+(-5)^3]+30×
[(-1)^2+2^2+3^2+(-5)^2]。
※※※
13,737=13,737。
◆◆◆
n=7；
※※※
19[(-1)^5+2^5+3^5+(-5)^5]
=
[(-1)^7+2^7+3^7+(-5)^7]+
[(-1)^6+2^6+3^6+(-5)^6]+11×
[(-1)^4+2^4+3^4+(-5)^4]+30×
[(-1)^3+2^3+3^3+(-5)^3]。
※※※
−54,169= −54,169。
◆◆◆
n=8；
※※※
19[(-1)^6+2^6+3^6+(-5)^6]
=
[(-1)^8+2^8+3^8+(-5)^8]+
[(-1)^7+2^7+3^7+(-5)^7]+11×
[(-1)^5+2^5+3^5+(-5)^5]+30×
[(-1)^4+2^4+3^4+(-5)^4]。
※※※
311,961=311,961。
◆◆◆◆◆◆
《二》下式的X,Y,Z,T只有**唯一解：X= -2, Y=3, Z=4, T= -6**。
◆◆◆
32[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)]
=
(X^n+Y^n+Z^n+T^n)+
[X^(n-1)+Y^5+Z^5+T^5]+12×
[X^(n-3)+Y^3+Z^3+T^3]+144×
[X^(n-4)+Y^2+Z^2+T^2]。
特別指出：n任意。
◆◆◆
n=6；
※※※
32[(-2)^4+3^4+4^4+(-6)^4]
=
[(-2)^6+3^6+4^6+(-6)^6]+
[(-2)^5+3^5+4^5+(-6)^5]+12×
[(-2)^3+3^3+4^3+(-6)^3]+144×
[(-2)^2+3^2+4^2+(-6)^2]。
※※※
52,768=52,768。
◆◆◆
n=7；
※※※
32[(-2)^5+3^5+4^5+(-6)^5]
=
[(-2)^7+3^7+4^7+(-6)^7]+
[(-2)^6+3^6+4^6+(-6)^6]+12×
[(-2)^4+3^4+4^4+(-6)^4]+144×
[(-2)^3+3^3+4^3+(-6)^3]。
※※※
−209,312= −209,312。
◆◆◆
n=8；
※※※
32[(-2)^6+3^6+4^6+(-6)^6]
=
[(-2)^8+3^8+4^8+(-6)^8]+
[(-2)^7+3^7+4^7+(-6)^7]+12×
[(-2)^5+3^5+4^5+(-6)^5]+144×
[(-2)^4+3^4+4^4+(-6)^4]。
※※※
1,649,440=1,649,440。
◆◆◆◆◆◆
《三》下式的X,Y,Z,T只有**唯一解：X= -1, Y=3, Z=5, T= -8**。
◆◆◆
49[X^(n-2)+Y^(n-2)+Z^(n-2)+T^(n-2)]
=
(X^n+Y^n+Z^n+T^n)+
[X^(n-1)+Y^5+Z^5+T^5]+71×
[X^(n-3)+Y^3+Z^3+T^3]+120×
[X^(n-4)+Y^2+Z^2+T^2]。
特別指出：n任意。
◆◆◆
n=6；
※※※
49[(-1)^4+3^4+5^4+(-8)^4]
=
[(-1)^6+3^6+5^6+(-8)^6]+
[(-1)^5+3^5+5^5+(-8)^5]+71×
[(-1)^3+3^3+5^3+(-8)^3]+120×
[(-1)^2+3^2+5^2+(-8)^2]。
※※※
235,347=235,347。
◆◆◆
n=7；
※※※
49[(-1)^5+3^5+5^5+(-8)^5]
=
[(-1)^7+3^7+5^7+(-8)^7]+
[(-1)^6+3^6+5^6+(-8)^6]+71×
[(-1)^4+3^4+5^4+(-8)^4]+120×
[(-1)^3+3^3+5^3+(-8)^3]。
※※※
−1,440,649= −1,440,649。
◆◆◆
n=8；
※※※
49[(-1)^6+3^6+5^6+(-8)^6]
=
[(-1)^8+3^8+5^8+(-8)^8]+
[(-1)^7+3^7+5^7+(-8)^7]+71×
[(-1)^5+3^5+5^5+(-8)^5]+120×
[(-1)^4+3^4+5^4+(-8)^4]。
※※※
13,646,451=13,646,451。
◆◆◆◆◆◆
完

齊次四項和

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