多路查詢樹

MXC肖某某發表於2020-12-28

一、二叉樹與B樹

1，二叉樹的問題分析

　　二叉樹需要載入到記憶體的，如果二叉樹的節點少，沒有什麼問題，但是如果二叉樹的節點很多(比如 1 億)， 就存在如下問題:

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  • 問題 1：在構建二叉樹時，需要多次進行 i/o 操作(海量資料存在資料庫或檔案中)，節點海量，構建二叉樹時，速度有影響
  • 問題 2：節點海量，也會造成二叉樹的高度很大，會降低操作速度。

2，多叉樹

  • 在二叉樹中，每個節點有資料項，最多有兩個子節點。如果允許每個節點可以有更多的資料項和更多的子節點，就是多叉樹（multiway tree）
  • 2-3 樹，2-3-4 樹就是多叉樹，多叉樹通過重新組織節點，減少樹的高度，能對二叉樹進行優化。

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3，B樹的基本介紹

　　B 樹通過重新組織節點，降低樹的高度，並且減少 i/o 讀寫次數來提升效率。

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  • 如圖 B 樹通過重新組織節點， 降低了樹的高度.
  • 檔案系統及資料庫系統的設計者利用了磁碟預讀原理，將一個節點的大小設為等於一個頁(頁的大小通常為 4k)，這樣每個節點只需要一次 I/O 就可以完全載入
  • 將樹的度 M 設定為 1024(每個節點的子節點的個數就稱為該節點的度（degree）)，在 600 億個元素中最多隻需要 4 次 I/O 操作就可以讀取到想要的元素, B 樹(B+)廣泛應用於檔案儲存系統以及資料庫系統中。

二、2-3樹

1，2-3樹的特點：

  • 2-3 樹的所有葉子節點都在同一層.(只要是 B 樹都滿足這個條件)
  • 有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點
  • 有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點
  • 2-3 樹是由二節點和三節點構成的樹。

2，2-3樹應用案例：

　　將數列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 構建成 2-3 樹，並保證資料插入的大小順序。(演示一下構建 2-3樹的過程)

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插入規則：

1) 2-3 樹的所有葉子節點都在同一層.(只要是 B 樹都滿足這個條件) 
2) 有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點. 
3) 有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點 
4) 當按照規則插入一個數到某個節點時，不能滿足上面三個要求，就需要拆，先向上拆，如果上層滿，則拆本層， 拆後仍然需要滿足上面 3 個條件。 
5) 對於三節點的子樹的值大小仍然遵守(BST 二叉排序樹)的規則

3，2-3-4樹

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三、B樹、B+樹和B*樹

1，B樹的介紹

　　B-tree 樹即 B 樹，B 即 Balanced，平衡的意思。

 

　　多路查詢樹

說明:

  1. B樹的階：節點的最多子節點個數。比如2-3樹的階是3，2-3-4樹的階是4
  2. B樹的搜尋：從根結點開始，對結點內的關鍵字(有序)序列進行二分查詢，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為空，或已經是葉子結點
  3. 關鍵字集合分佈在整棵樹中，即葉子結點和非葉子節點都存放資料
  4. 搜尋有可能在非葉子結點結束
  5. 其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢

2，B+樹的介紹

　　B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜尋樹。

　　B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標；

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說明：

  1. B+樹的搜尋與B樹基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中(B樹可以在非葉子結點命中)，其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢
  2. 所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中(即資料只能在葉子結點【也叫稠密索引】)，且連結串列中的關鍵字(資料)恰好是有序的
  3. B+樹非葉子結點相當於是葉子結點的索引(稀疏索引)，葉子結點相當於是儲存(關鍵字)資料的資料層；B樹的非葉子結點也儲存資料(資料資訊)，這樣導致每次載入io的資料量減小
  4. 更適合檔案索引系統
  5. B數和B+樹各有自己的應用場景，不能說B+樹完全比B樹好，反之亦然。

3，B*樹的介紹

　　B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標。

　　B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟結點也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標； 所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

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 說明：

  1. B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3，而B+樹的快的最低使用率為1/2
  2. B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高

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