淺談 [NOIP 2023]三值邏輯 無限種解法
前言
對於 NOIP 2023，T1 是個人人都會寫的簽到題，對於 T3 則是做法唯一隻能按照提醒的資料範圍一步一步走，對於 T4 則是隻能線段樹最佳化 dp。思維侷限性大，並沒有什麼深度挖掘的意義。直到有一天睡覺的時候又想起來 T2 這個題，覺得有必要把這個題相關的所有方法記錄下來。故於此記錄。
法一：並查集
考慮對於前 20 pts 的解法，理論可以直接列舉所有可能，但是由於可以特判出一些顯然錯誤的方案，所以列舉的方案數是不全的。理論複雜度 \(O(3^n)\) ，而實際遠遠到不了這個複雜度。
對於中間只有賦值操作的 20 pts，直接並查集維護即可。
考慮正解，顯然是有辦法對於並查集解法進行最佳化的。我們要最小化不確定值的個數，那麼首先要知道如何判定誰可以是不確定的數。對於任意一個數 \(x\) ，如果 \(x\) 的祖先是 \(-x\)。或者 \(x\) 的祖先是 \(U\)。直接並查集維護，但是期間有一些細節。對於取相反數，會出現 \(fa[-x]\) 導致下標錯誤，所以要分類討論 。當然，我們在模擬樣例的時候發現，會出現反覆取反的情況，即 \(x\) -> \(-x\) -> \(x\)，這樣在執行並查集的時候會陷入死迴圈，所以再開一個 \(v\) 來記錄是否到達過 \(x\) 的 \(-x\)。當然，對於陣列 \(v\) 也會出現下標為 \(<0\) 的情況，所以下標統一上移 \(n\) 。剩下的直接程式碼實現即可。
submission
法二：二分圖
這個題好玩的地方在於，很多種 trick 都可以對這個題使用。
化繁為簡，考慮將 \(T,F,U\) 賦值操作也更改為下面那些型別的操作，\(T\) 更改為 \(x_{n+1}\)，\(F\) 更改為 \(-x_{n+1}\)，\(U\) 更改為 \(x_{n+2}\)
建立 \(01\) 無向圖，當涉及取反操作時那麼邊權為 \(1\)
對於樣例，我們發現，如果只有 \(T,F\) 那麼結果一定是 \(Unknown\)。所以，如果圖上出現了一個環其邊權為一的邊有奇數條，所以我們現在的任務就是判定是否存在這樣的話，即判二分圖。如果不是二分圖，那麼整個聯通塊都是 \(U\)，單獨統計 \(x_{n+2}\)，更新答案
submission
法三：拆點 BFS
把所有的賦值操作改為拆點。每操作一次多拆一個點。
- 操作一：對 \(x\) 建一個新版本賦值，直接實現
- 操作二、三：對於 \(x\) 建一個新版本，和 \(y\) 得最新版本連邊權為 \(1\) 或 \(0\) 的無向邊，當涉及取反操作時那麼邊權為 \(1\)
考慮初始情況和末尾情況，操作始末狀態相同，需要把每個點始末版本連一條代表相等得邊。然後發現每個連通塊只有三種狀態，且相互獨立。可以 BFS 直接計算。
法四：基環樹
我們仍然借鑑第二個方法找環的思路，但是並不是使用二分圖。
對於我們最後得到結果，只要不是定值就一定可以寫成 \(k \times a_i\)，\(k∈[-1,1]\)。我們原來建立的是 \(01\) 無向圖，而我們現在建立的就是一個有邊權的無向圖了。對於 \(a_i\) 為 \(k \times a_j\) 形式，連線 \(i,j\) 邊權為 \(k\)。這樣就建出了基環樹。如果對於一個點其值已知就可以便利圖求聯通塊。
然後，考慮找環。我們再回到解法一所說，如果有 \(x\) 的祖先為 \(-x\) 的情況，就會出現 \(Unknown\)，那麼我們就能得出結論，如果我們這個環的邊權乘積為 \(-1\)，即化簡後出現了 \(a_x \times -a_y\) 的情況，則整個聯通塊都是 \(U\)
法五：2-SAT
大炮打蒼蠅
2-SAT 可以用來解決有 \(n\) 對二元矛盾組所構成的集合從中任意找一個元素 \(x\) 從而找到與其不矛盾的。
思路非常符合本題，因為本題全是二元組。並且取反操作前邊都能 \(01\) 邊權了，這裡自然也可以定義矛盾。
設 \(1\)~\(n+m\) 的點表示為 \(T\) 的點，其中 \(x_{k+n}(1≤k≤n)\) 表示在第 \(k\) 次操作被操作的變數的值（操作後）。設 \(n+m+1\)~\(2 * (n+m)\) 表示 \(x_1,...x_{n+m}\) 為 \(F\) 的點。
如果給 \(x_i\) 為 \(U\)， \(i\) 和 \(i + n + m\) 連雙向邊。\(x_i\) 為 \(T\)， \(i + n + m\) 向 \(i\) 連單向邊。 \(x_i\) 為 \(F\)， \(i\) 向 \(i + n + m\) 連單向邊。 \(x_i\) 賦值為 \(x_j\)， \(j\) 決定了 \(i\)，\(i\) 也可以倒推出 \(j\)，\(cur_j\) 和 \(i\) 連雙向邊，\(cur_j + n + m\) 和 \(i + n + m\) 連雙向邊。如果是 \(x_i\) 賦值為 \(¬x_j\)， \(j\) 決定了 \(i\)，\(i\) 也可以倒推出 \(j\)，\(cur_j + n + m\) 和 \(i\) 連雙向邊，\(cur_j\) 和 \(i + n + m\) 連雙向邊。
\(cur_i\) 為當前操作最後一次更新 \(i\) 的操作編號加 \(n\)，若沒有則為 \(i\)。
之後 SCC 跑 Tarjan 縮點就好，\(scc_{res_i} = scc_{res_i + n + m}\) 數量即為答案。
submisionn
參考文獻
哈哈人生 P9869-NOIP2023-B-三值邏輯
AugustLight P9869 [NOIP2023] 三值邏輯 題解
_yjh P9869 [NOIP2023] 三值邏輯 題解
SnowTrace NOIP2023 tribool
CountingGroup cnblogs