CINTA 作業三

CINTA 作業三

實現乘法逆元

LL egcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=egcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)
{
    LL x,y;
    LL d=egcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

模指數運算

def rec_mod_exp(x, y, p):
    if(y==0):
        return 1 
    z = rec_mod_exp(x, y//2, p)
    if(y&1==0): 
       return z*z %p 
    else: 
       return x*z*z %p

3、設p = 23和a = 3，使用費爾馬小定理計算$a^{2019}modp?$

計算$3^{2019}mod23$使用費馬小定理$$a^{p-1}\equiv 1modp$$可得$a^{22}\equiv 1mod23$，因為$2019=17+91\ast 22$，所以$3^{2019}mod23$ $=3^{17+91\ast 22}mod23$，
所以$3^{17+91\ast 22}mod23$ $=3^{17}mod23$ $=16$

4、使用尤拉定理計算2^{100000} mod 55

因為55等於511，而5和11都為素數，故$\varphi$(55)=(5-1)*(11-1)=40，因為gcd(2,55)=1,又因為$2^{100000}=2^{2500\ast 40}$，所以$2^{100000}\equiv 1mod55=1$

5、手動計算7^{1000}的最後兩個數位等於什麼？

通過運算7的前幾次次方，發現其實後兩數位是按迴圈出現的，並且是以四個次方為一個迴圈，故$7^{1000}$的最後兩個數位為 $01$