CINTA 作業七

HHHHUIIII發表於2020-11-03

4.如果G為迴圈群，則有 g k 1 g^{k1} gk1， g k 2 g^{k2} gk2， g k 3 g^{k3} gk3∈G，且 g k 3 g^{k3} gk3= g k 1 g^{k1} gk1* g k 2 g^{k2} gk2，因為G − > -> −>H為群同構，故 ϕ ( g k 3 ) ϕ(g^{k3}) ϕ(gk3) = ϕ ( g k 1 ) ϕ(g^{k1}) ϕ(gk1) ◦ ϕ ( g k 2 ) ϕ(g^{k2}) ϕ(gk2) = ϕ ( g k 1 ⋅ g k 2 ) ϕ(g^{k1}·g^{k2}) ϕ(gk1⋅gk2)，得證 ϕ ( G ) ϕ(G) ϕ(G)也為迴圈群。
如果G為交換群，則有 ∀ a , b ∈ G ∀a,b∈G ∀a,b∈G， a b = b a ab=ba ab=ba，故有 ϕ ( a b ) ϕ(ab) ϕ(ab)= ϕ ( b a ) ϕ(ba) ϕ(ba)，所以 ϕ ( a b ) ϕ(ab) ϕ(ab)= ϕ ( a ) ϕ(a) ϕ(a) ◦ ϕ ( b ) ϕ(b) ϕ(b)= ϕ ( b ) ϕ(b) ϕ(b) ◦ ϕ ( a ) ϕ(a) ϕ(a)= ϕ ( b a ) ϕ(ba) ϕ(ba)，得證 ϕ ( G ) ϕ(G) ϕ(G)也為交換群。

5.由題意可得群G有兩個不同的陪集，對 ∀ g ∈ G ∀g∈G ∀g∈G：當 g g g落在 H H H上，則顯然 g H = H g = H gH=Hg=H gH=Hg=H；當 g g g不落在H上時，根據同一或不相交性， g H = H g = G − H gH=Hg=G-H gH=Hg=G−H，故對 ∀ g ∈ G ∀g∈G ∀g∈G，均有 g H = H g gH=Hg gH=Hg，故得證 H H H是 G G G的正規子群。

6.對 ∀ a H ∀aH ∀aH， b H ∈ G / H bH∈G/H bH∈G/H，存在 H 1 , H 2 H_1,H_2 H1​,H2​使得 a H 1 aH_1 aH1​， b H 2 bH_2 bH2​落在 a a a， b b b上，其中 a a a， b ∈ G b∈G b∈G，又因為 G G G為阿爾貝群，則有 a b = b a ab=ba ab=ba，故 a H 1 b H 2 = b H 2 a H 1 aH_1bH_2=bH_2aH_1 aH1​bH2​=bH2​aH1​， a H 1 b H 2 H H = b H 2 a H 1 H H aH_1bH_2HH=bH_2aH_1HH aH1​bH2​HH=bH2​aH1​HH，得 a H b H = b H a H aHbH=bHaH aHbH=bHaH，故得證G/H也為阿爾貝群。

7.因為G是迴圈群，故有 ∀ g k 1 ， g k 2 ∈ G ∀g^{k1}，g^{k2}∈G ∀gk1，gk2∈G，使得 g k 3 = g k 1 ∗ g k 2 g^{k3} = g^{k1} * g^{k2} gk3=gk1∗gk2，對於商群 G / H G/H G/H有 ( g k 1 H ) ( g k 2 H ) = g k 3 H (g^{k1}H)(g^{k2}H) = g^{k3}H (gk1H)(gk2H)=gk3H，得證 G / H G/H G/H也為迴圈群。

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