二進位制中為什麼負數是正數取反再加一

marsggbo發表於2024-07-03

二進位制中的負數表示有一個重要的概念是補碼，它是由對應正數二進位制取反後再加 1 得到的。但是經常忘記為什麼要這麼表示，這裡結合 chatgpt 解釋做個簡單的總結。

補碼（Two's Complement）設計的邏輯來自於簡化和統一計算機中有符號數的表示和運算。其設計邏輯可以追溯到電腦科學中的一些基本需求和目標。以下是補碼設計邏輯的詳細解釋：

1. 有符號數的表示

目標: 在計算機中，需要一種方法來表示正數和負數，同時要確保運算的簡便性和一致性。

2. 符號位的使用

思路: 使用最高位（最左邊一位）作為符號位。0表示正數，1表示負數。這是因為使用最高位作為符號位可以直接決定數的正負，同時剩餘的位可以用於表示數值部分。

3. 簡化運算

需求: 希望計算機能夠使用相同的電路（主要是加法器）來處理加法和減法。

實現:

  • 對於加法，直接進行二進位制加法。
  • 對於減法，將減法轉換為加法，透過加上一個負數來實現。

4. 負數的表示

挑戰: 如何表示負數使得上述需求能夠被滿足？

這裡我們可以假設給定一個正數，例如 5 的8位二進位制是 0000 0101，那麼我們該如何設計-5 呢？

很顯然，最重要想實現的目的是 5+-5=0,也就是 0000 0101 + x = 0000 0000, 手動算一下減法，x= 1111 1011。觀察一下規律你會發現，x 其實就是 0000 0101取反再加 1。

整理一下，如下：

補碼的引入:

  • 按位取反加1: 補碼的核心思想是，將一個數的負數表示為該數的按位取反再加1。

例如，對於8位系統中的數字：

  • 正數 5 的二進位制表示是 0000 0101。
  • 負數 -5 的表示過程是：
    1. 將 5 的二進位制按位取反：1111 1010
    2. 加1：1111 1011
      因此，-5 的補碼錶示是 1111 1011。

5. 運算一致性

驗證: 透過補碼錶示，負數可以直接參與加法運算，而無需額外的減法電路。

例如，計算 5 + (-5)：

  • 5 的二進位制表示是 00000101
  • -5 的補碼錶示是 11111011

二者相加：

  00000101
+ 11111011
  ----------
  100000000  （由於是8位系統，只取低8位，結果為 00000000）

結果為 00000000，表示0，運算正確。

6. 統一零的表示

優勢: 使用補碼錶示法，零隻有一種表示形式，即 00000000，這簡化了零的處理邏輯，避免了符號-絕對值表示法中正零和負零的問題。

7. 溢位檢測簡化

溢位檢測: 在補碼錶示法中，溢位可以透過簡單的邏輯操作檢測到。例如：

  • 兩個正數相加結果為負數
  • 兩個負數相加結果為正數

這可以透過檢查結果的符號位來實現。

設計邏輯總結

補碼的設計邏輯旨在簡化和統一計算機中有符號數的表示和運算。其主要優勢包括：

  • 符號位的直觀使用
  • 負數的補碼錶示使加法和減法運算一致
  • 零的唯一表示形式
  • 簡化的溢位檢測

透過這些設計，補碼有效地解決了在計算機中處理有符號數的各種挑戰，成為現代計算機系統中廣泛採用的表示方法。

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