前言
有一個整數，想知道它的二進位制表示中有多個1，你會怎麼做？本文將帶大家深入學習下二進位制以及它的各種運算，一步步的研究出這個問題的解決方案，歡迎各位感興趣的開發者閱讀本文。
前置知識
在解決這個問題之前，我們需要先了解下什麼是二進位制。
二進位制
在計算機的世界裡，只有0和1，也就是二進位制。
符號數
在二進位制中，數被分為有符號數和無符號數。
對於有符號數而言，符號的正、負機器是無法識別的，但由於“正、負”恰好是兩種截然不同的狀態，如果用“0”表示正，用“1”表示“負”，這樣符號也被數字化了，並且規定將它放在有效數字的前面，即組成了有符號數。
因此，在二進位制中使用最高位來表示符號。
- 最高位是0，表示正數。
- 最高位是1，表示負數。
二進位制的最高位就是其第一位，例如：10000001100，它的最高位就是1。
對於無符號數而言，它表示的數其範圍都是正數，所有位都用於表示數的大小。
有符號數的性質
對於有符號數而言，它有6個性質：
- 二進位制的最高位是符號位：0表示正數，1表示負數
- 正數的原碼、反碼、補碼都一樣
- 負數的反碼 = 它的原碼符號位不變，其它位取反（0 -> 1; 1 -> 0）
- 0的反碼、補碼都是0
- 負數的補碼 = 它的反碼 + 1
- 在計算機運算的時候，都是以補碼的方式來運算的
原碼、反碼、補碼
上述性質中，我們提到了原碼、反碼、補碼，接下來我們來學習下他們究竟是什麼樣的數字。
原碼，分為兩種情況：
- 一個正數，按照絕對值大小轉換成的二進位制數
- 一個負數，按照絕對值大小轉換成的二進位制數，然後最高位補1
反碼，也分為兩種情況：
- 一個正數，它的反碼與它的原碼是相同的
- 一個負數，它的反碼為該數的原碼除符號位外，各位取反
補碼，也分為兩種情況：
- 一個正數，它的補碼與它的原碼也是相同的
- 一個負數，它的補碼為對該數的原碼除符號位外各自取反後，在最後一位加1
進位制轉換
我們要對二進位制進行運算，需要先將十進位制數轉為二進位制，因此我們需要先學習下十進位制轉二進位制的方法。
十進位制轉二進位制
將十進位制轉為二進位制主要分為三種情況：
- 正整數轉二進位制
計算規則為：除二取餘(直至商為0)，然後倒序排列，高位補零。
知道規則後，我們舉個例子，求一下80所對應的二進位制數，如下圖所示：
計算機內部表示數的位元組單位是定長的（字長），如：8、16、32、64位。因此當計算出來的二進位制的位數不夠時，需要在高位進行補0。
上述例子中，我們將80轉為二進位制數後，它的值為：1010000，字長為7，如果計算機的字長是64位，那麼標準寫法就是在它的最高位前面補57個0，我們用計算器來驗證下，如下所示：
- 負整數轉二進位制
在計算機中，負數是以原碼的補碼形式進行表達的，通過前面的學習，我們知道了想求負數的補碼，就得先求出它的原碼。
我們以-80為例來計算下它的二進位制碼，步驟如所示：
- 求原碼，如下圖所示：
- 求補碼，如下圖所示：
至此，我們得到了-80的二進位制碼：10110000
在正整數轉二進位制部分，我們講了計算機是固定字長的，當計算出來的二進位制位數不夠時，正整數會在高位補0，負整數則會在高位補1。
我們用計算器來驗證下我們計算出來的-80的二進位制碼是否正確，如下所示：
- 小數轉二進位制
在二進位制中，小數被稱為浮點數，我們在將十進位制小數轉換為二進位制小數時，需要以小數點為界限，將其拆分為整數部分和小數部分。
整數部分轉為二進位制，我們在前面已經講過了（即除2取餘）
小數部分轉為二進位制的方法為：乘2取整數部分，繼續用小數部分乘2，直至小數部分為0（大多數情況下不會為0，需要確立精度）
我們以80.13為例來計算下它的二進位制碼，如下圖所示：
計算機中用二進位制來表示小數時，大部分十進位制小數都不能精確的用二進位制來表示，當表示這種小數時，最大精確多少位，取決於計算機的字長。
上圖中，我們計算出了
80.13的二進位制碼為01010000.00100，我們精確到了小數點後5位。我們用計算器來驗證下是否正確。
二進位制轉十進位制
同樣的，二進位制轉十進位制也分為三種情況：
- 正整數轉十進位制
從二進位制的最低位開始，給每一位標上序號，取出不為0位置的數的序號，將其作為2的次方進行計算，最後將結果相加。
我們以01010000為例，求一下它的十進位制數，如下圖所示：
- 負整數轉十進位制
前面我們學習了十進位制負整數轉二進位制的方法，那麼二進位制轉十進位制，則需要倒著來算，我們以10110000為例，步驟如下所示：
- 根據補碼求原碼
- 除去符號位，對其他位按照正整數轉二進位制的規則進行計算，最後補上負號，如下圖所示：
- 小數轉十進位制
給小數點後每一位標上負序號（從-1開始），取出不為0位置的數的序號，將其作為2的次方進行計算，最後將結果相加。
我們以01010000.00100為例，求出它的十進位制數，如下圖所示：
經過前面的學習，我們知道了十進位制小數轉二進位制時，大多數情況是無法得到精確值的，我們用80.13舉例時，精確到了小數點後5位。
同樣的，我們將二進位制小數轉換為十進位制數時，也是無法得到準確值的，最終值也取決於精度，此處我們保留2位小數，四捨五入後就為
80.13。
有符號數的運算
瞭解完前置知識，接下來我們舉幾個例子來看下有符號數是如何進行運算的。
左移運算子
<<稱為左移運算子，它的運算規則為：
- 移除二進位制數最高位的0
- 在二進位制數的末尾補上一個0
我們以01010000為例，假設他的字長為32位（多餘的0省略），對其左移一位，它的運算過程如下圖所示：
左移1位後，我們計算出來的結果為：010100000，轉換成十進位制後結果為2^5 + 2^7 = 32 + 128 = 160。
01010000的十進位制數為80，左移動1位後，值變為了160，經過觀察後，我們發現左移後的值正好是原值的2倍，等價於乘2操作。
大多數情況下我們可以將其當作乘2使用，但在一些特殊情況下它並不代表真正的乘2，例如，我們需要將其左移25位，如下圖所示（我們把省略的0補上）：
左移25位後，我們發現它左側的0已被刪完，最高位變成了1，這個數也從原來的正數，變為了負數。如果我們左移26位，左側的0不夠，會開始從右側取值，最終的值又變成了正數。
因此，我們會發現這樣一條規律：
- 當左移的位數，超過剩餘字長時，它的值並非乘2
注意：如果任意一個二進位制數，左移的位數大於等於字長（例如字長為32，我們左移32位，右邊補32個0），那麼與之對應的十進位制數豈不是都為0了？
當然不是，二進位制數進行左移時，當移動的位數大於等於它的字長時，位數會先求餘數，然後再進行左移。
例如：我們需要對一個字長為32位的二進位制數進行左移32位，那麼就需要先求它的餘數，即：
32 % 32 = 0，需要左移0位。左移33位的值和左移1位是一樣的。
右移運算子
>>稱為右移運算子，它的運算規則分為正數與負數兩種情況。
正數：
移除最低位的數，在最高位補0。
我們以01010000為例（十進位制值為80），對其右移4位，計算過程如下圖所示：
計算出來的二進位制結果為
00101，將其轉位十進位制，結果為：2^0 + 2^2 = 1 + 4 = 5,即：80 >> 4 = 5我們用計算器來驗證下：
負數：
經過前面的學習，我們知道了負數是以原碼的補碼形式儲存的，它的右移規則為：
- 對補碼進行右移，在最高位補1
- 求出其反碼
- 對反碼+1，求出原碼
我們以10110000為例（十進位制為-80），將其右移4位，計算過程如下所示：
計算出來的二進位制結果為
11100,我們將其專為十進位制：2^0 + 2^2 = 1 + 4 = 5，補齊符號位，結果為:-5。即：-80 >> 4 = -1。我們用計算器來驗證下，如下圖所示：
與運算子
&稱為與運算子，它的運算規則為：
- 符號左右兩側的數同時為1，結果就為1，否則為0
即：0 & 0 = 0; 0 & 1 = 0; 1 & 0 = 0; 1 & 1 = 1
接下來，看個十進位制的例子，來看下它的運算過程，如下所示：
15 & 13，它的運算步驟為：
- 將十進位制轉為二進位制
- 對二進位制進行與運算
運算過程如下圖所示：
或運算子
|稱為或運算子，它的運算規則為：
- 符號左右兩側的數，有一個為1，其值就為1
即：0 | 1 = 1; 1 | 0 = 1; 0 | 0 = 0; 1 | 1 = 1
我們繼續以前個章節的數字為例，來看下15 | 13的運算步驟：
- 將十進位制轉二進位制
- 對二進位制進行或運算
運算過程如下圖所示：
異或運算子
^稱為異或運算子，它的運算規則為：
- 符號左右兩側的數，值不同，則該位結果為1，否則為0
即：0^0=0; 0^1=1; 1^0=1; 1^1=0
我們繼續以15和13為例，看下15^13的運算步驟：
- 將十進位制轉二進位制
- 對二進位制進行異或運算
運算過程如下圖所示：
問題求解
有了上述知識做鋪墊後，接下來我們進入正題：有一個十進位制整數，求它的二進位制數中1的個數。
分析
在解決這個問題之前，我們先來分析這樣一個場景：
如果一個整數不等於0，那麼該整數的二進位制表示中至少有一位是1。
先假設這個數的最右邊一位是1，那麼減去1時，最後一位變成0而其他所有位都保持不變。也就是最後一位相當於做了取反操作，由1變成了0。
接下來，假設這個數最右邊的一位是0的情況：
如果該整數的二進位制表示中，最右邊的1，位於第m位，那麼減去1時:
- 第
m位由1變成了0 - 第
m位之後的所有0都變成1 - 整數中第m位之前的所有位都保持不變
我們舉個例子：
一個二進位制數01010000，它的第4位是從最低位數起的第一個1，減去1後：
- 第4位變0
- 它後面的四個0全變1
- 它前面的所有位保持不變
因此得到的結果為01001111，轉成十進位制後為79。
結論
前面我們分析的兩種情況中，我們發現把一個整數減去1，都是把最右邊的1變成0。如果它的最右邊還有0，則所有的0都變成1，而它左邊的所有位都保持不變。
接下來，我們把一個整數和它減去1的結果做位與運算，相當於把它最右邊的1變成0。我們還是以前面的01010000為例，它減去1的結果是01001111。我們再對它們二者進行位與運算，得到的結果是：01000000。
經過觀察後，我們發現：把01010000最右側的1變成了0，結果剛好就是01000000。
思路與編碼
看到這裡，我想各位開發者已經看出了此問題的解題思路了?。
沒錯，思路就是：把一個整數減去1，再和原整數做位與運算，會把該整數最右側的1變成0。
那麼，一個整數的二進位制表示中有多少個1，就可以進行多少次這樣的操作，直至整個數變為0，我們對每一次操作進行計數，就得到了這個問題的答案。
基於這種思路，我們就可以愉快的進行編碼了，程式碼如下所示：
export default class BinaryOperation {
/**
* 獲取二進位制中1的個數
* @param decimalVal 十進位制數
*/
public getBinaryOneNum(decimalVal: number): number {
let count = 0;
// 十進位制數不為0，代表其二進位制表示中仍存在1
while (decimalVal !== 0) {
// 二進位制中所存在的1的總數+1
count++;
// 對十進位制數與其-1後的數進行位與運算
// 得出結果後替換原十進位制數，進行下一輪計算，直至十進位制數為0
decimalVal = decimalVal & (decimalVal - 1);
}
// 返回結果
return count;
}
}
最後，我們寫個測試用例，驗證下上述程式碼能否正常工作，如下所示：
import BinaryOperation from "../BinaryOperation.ts";
const binaryOperation = new BinaryOperation();
const result = binaryOperation.getBinaryOneNum(80);
const result2 = binaryOperation.getBinaryOneNum(-80);
console.log(`80的二進位制表示中有${result}個1`);
console.log(`-80的二進位制表示中有${result2}個1`);
執行結果如下圖所示：
示例程式碼地址：BinaryOperation.ts、BinaryOperation-test.ts
執行結果與我們手動算出來的二進位制數中1的個數一致?
-80我們在前面的章節中算過它的二進位制表示為10110000，我們講過二進位制具體在計算機中佔多少位，取決於它的字長，我們在書寫時只需要標明它的符號位，高位上多出的1可以省略。此處，我們算出
-80的二進位制表示中有27個1，我們加上此處的5個0，可以知道它的字長為27 + 5 = 32。
寫在最後
至此，文章就分享完畢了。
我是神奇的程式設計師，一位前端開發工程師。
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