【劍指offer】二進位制中1的個數

題目描述

輸入一個整數，輸出該數二進位制表示中1的個數。其中負數用補碼錶示。

補碼

解題前，我們先來了解一下補碼。在計算機系統中，數值都是用補碼來表示和儲存的。
而原碼就是數值的二進位制數表示，最高位1表示負數。
以32位數值舉例
1的原碼就是

-1的原碼就是

正數的補碼等於原碼
負數的補碼等於其原碼按位取反後（除了最高位）加1，比如-1的補碼就是32個1

使用補碼的好處在於，可以將符號位和數值位統一處理，加法與減法也可以統一處理。
比如3 - 1，等價於3 + (-1)，則對於計算機來說將3和-1的補碼直接相加就可以，計算過程如下圖所示。如果直接使用數值的原碼錶示，則不會得到正確的結果，感興趣的同學可以計算試一下，這裡不再贅述。

解法1

對於本題，首先想到的是將二進位制數一直右移，這樣的話該數的每一位都會依次成為最低位，然後將該數和1相與，計算1的個數。（由於1只有最低位是1，其他位都是0，某個數和它相與後，結果如果是1，就說明該數最低位是1，否則就是0）
按照以上思想，實現的程式碼如下，但是請注意，這樣的寫法是錯誤。沒有考慮負數的情況，和正數右移最高位補0不同的是，負數右移最高位補1，這樣就會有無數個1，導致死迴圈。

public int NumberOf1(int n)
{
    int count = 0;
    // 沒有考慮負數，一直不會等於0
    while(n != 0)
    {
        if ((n & 1) == 1)
            count++;
        // 負數右移最高位補1
        n >>= 1;
    }
    return count;
}

既然將目標數右移和1與行不通，那麼我們可以反過來，將1不斷左移（從最低位到最高位每一位依次是1，其他位是0），然後和目標數相與來求1的個數。具體過程如下圖所示

實現程式碼

public int NumberOf1(int n)
{
    int unit = 1, count = 0;
    while (unit != 0)
    {
        if ((unit & n) != 0)
            count++;
        unit <<= 1;
    }
    return count;
}

解法2

上面解法1的時間複雜度是O(n的位數)，n有所少位就要迴圈多少次。可以利用一個小技巧，降低演算法的時間複雜度。
先來看一個例子，對於任意一個數將其減1，比如7
7的補碼錶示是

（7的補碼）
減1後為6，補碼錶示如下。如果再和7相與，得到的值仍為6。得到的值相當於把7從右邊數的第一個1被變成了0

（6的補碼）
比如6，再減1，為5，補碼錶示如下

（5的補碼）
如果再和6相與，得到的值為4。補碼錶示如下，得到的值相當於把6從右邊數的第一個1被變成了0

如果用負數進行測試，也是一樣的結果。
由此我們可以發現對於數值n，將n - 1後再和n相與，得到的值相當於將n從右邊數的第一個1變成0。n的二進位制表示中有多少個1，就能變多少次。實現程式碼如下，時間複雜度優化為O(n中1的個數)

實現程式碼

public int NumberOf1(int n)
{
    int count = 0;
    while (n != 0)
    {
        count++;
        n = (n - 1) & n;
    }
    return count;
}