學懂模運算 負數的補碼為什麼要按位取反再加一

列隊貓發表於2020-10-07

模運算和負數的補碼為什麼要按位取反再加一

模運算

模運算概念：在一個模運算系統中，一個數與它除以“模”後的餘數等價

作用：實現+ 和– 的統一，實現數值運算時使用同一的符號

例如：模12系統時鐘
  假定鐘錶時針指向10點，要將它撥向6點， 則有兩種撥法：
    ① 倒撥4格：10- 4 = 6
    ② 順撥8格：10+8 = 18

  即模運算：8是- 4對模12的補碼，- 4的模12補碼等於8
    10- 4 ≡ 10+8 (mod 12)
    - 4 ≡ 8 (mod 12)

概念解析（非常重要）

  1. 模運算實際上就相當與一個一元一次函式，如：1+x=0,求x=？，答：x=0-1 即-1，這個一元一次函式中0就是模，就相當於- 4 ≡ 8 (mod 12)中的12，1和-1就相當於- 4 ≡ 8 (mod 12)中-4和8

  2. 至於為什麼，因為“溢位”，就像鐘錶只有12個點，就相當與一個12進位制數，而儲存這個數的空間只有一位，當超過12點後，時間就放生了“溢位”，可顯示的數值就變成了0，那麼指向10點的鐘表，要將它撥向6點，如果這麼看10-x=0，求x，答：x=-4或+8，-4可以理解往後面撥四個小時就行了，+8呢，10點往前撥8個小時，10+8=18，但是模12系統中最大的數位為12，18超過了12發生了溢位，自然就變成6了

  3. 換算到計算機系統中的二進位制資料，1+x=0,求x=？由於需要表示符號位就變成了，00000001+x=00000000，裡面的x就應該代替 -1的二進位制編碼才對，這樣，我們得到 x=11111111，而11111111就是-1，所以稱11111111為-1的補碼

  4. 我們常理解為補碼就是負數“按位取反，末尾加一”，我們知道模就是R位模系統中的基數，如：1-1=0，如-1=0-(+1)，即二進位制的1000000001=0000000000-0000000001，即1000000001=(1111111111-0000000001)+0000000001，正是負數的按位取反，末尾加一

結論

  一個負數的補碼等於模減該負數的絕對值
    1000000001(-1)=0000000000-0000000001(1)

  對於某一確定的模，某數減去小於模的另一數，總可以用該數加上另一數負數的補碼來代替

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