2018 Multi-University Training Contest 9----hdu 6415 Rikka with Nash Equilibrium

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2018 Multi-University Training Contest 9—-hdu 6415 Rikka with Nash Equilibrium

題意：
在一個矩陣中，如果某一個數字是該行該列的最大值，則這個數滿足納什均衡。

要求構造一個n*m的矩陣，裡面填的數字各不相同且範圍是【1，m*n】，問有多少種構造方案。

The first line contains a single integer t(1≤t≤20), the number of the testcases.

The first line of each testcase contains three numbers n,m and K(1≤n,m≤80,1≤K≤109).

The input guarantees that there are at most 3 testcases with max(n,m)>50.

補題寫了三種思路：
不過dfs和dp的思想是一樣的。
考慮三種求情況：
(1）新增一個數，覆蓋的行數+1
(2）新增一個數，覆蓋的列數+1
(3) 新增一個數，覆蓋的行數和列數不變化

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　1. dfs

但是tle了，據說多交幾次有可能卡過。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 

int n,m,k;
ll dp[85*85][85][85];
//dfs i x y i表示放置數字的個數，x表示行，y表示列
ll dfs(ll i,ll x,ll y)
{
    if(dp[i][x][y]!=-1)return dp[i][x][y];
    ll tmp=0;
    if(x<n)tmp=tmp+y*(n-x)%k*dfs(i+1,x+1,y)%k%k;
    if(y<m)tmp=tmp+x*(m-y)%k*dfs(i+1,x,y+1)%k%k;
    if(x*y>i)tmp=tmp+(x*y-i)%k*dfs(i+1,x,y)%k%k;
    return dp[i][x][y]=tmp;
}



int main()
{
  //  ios::sync_with_stdio(false);

    int t;
    scanf("%d",&t);

    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dp[m*n][n][m]=1;
        ll ans=m*n%k*dfs(1,1,1)%k;
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}

2. DP

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int n,m,mod;
ll dp[85*85][85][85];



int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));

        scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
        dp[1][1][1]=n*m;
        for(int i=1;i<m*n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                for(int k=1;k<=m;k++)
                {
                    dp[i+1][j+1][k]=dp[i+1][j+1][k]+(n-j)*k*dp[i][j][k];
                    dp[i+1][j][k+1]=dp[i+1][j][k+1]+(m-k)*j*dp[i][j][k];
                    if(dp[i+1][j+1][k]>=mod)dp[i+1][j+1][k]%=mod;
                    if(dp[i+1][j][k+1]>=mod)dp[i+1][j][k+1]%=mod;
                    ll p=j*k-i;
                    if(p<=0)continue;
                    dp[i+1][j][k]=dp[i+1][j][k]+p*dp[i][j][k];
                    if(dp[i+1][j][k]>=mod)dp[i+1][j][k]%=mod;
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[n*m][n][m]%mod);
    }
    return 0;
}

３. 套公式

公式如下：
n!∗m!∗(m∗n)!/(m+n−1)! n ! ∗ m ! ∗ ( m ∗ n ) ! / ( m + n − 1 ) ! <script type="math/tex" id="MathJax-Element-22"> n!*m!*(m*n)!/(m+n-1)!</script>
分母可以消掉，取模就很方便了。