一、背景
八皇后問題是一個以國際象棋為背景的問題：如何能夠在8×8個格子的國際象棋棋盤上放置八個皇后，使得任何一個皇后都無法直接吃掉其他的皇后, 為了達到此目的，任兩個皇后都不能處於同一條橫行、縱行或斜線上（中國象棋，車可以走橫線，縱線），問有多少種擺法，高斯認為有76種方案。1854年在柏林的象棋雜誌上不同的作者發表了40種不同的解，後來有人用圖論的方法解出92種結果。計算機發明後，有多種計算機語言可以程式設計解決此問題。
八皇后問題可以推廣為更一般的n皇后擺放問題：這時棋盤的大小變為n×n，而皇后個數也變成n。
當且僅當 n = 1或 n ≥ 4時問題有解.
皇后可攻擊範圍如圖所示：圖中藍色區塊不允許放其他皇后
力扣（leetcode）原題連結：https://leetcode-cn.com/problems/n-queens-ii/
該題官方提供了2種方式，但是官方講解的並不容易理解，且在主對角線和次對角線描述反了，利用位運算的方法只提供了方法，我通過自己的理解畫了圖形，所謂有圖有真相，方便理解一些，在參考其他題解後，我再新增了一種利用斜率判斷安全位置的解法。
二、思路
1.窮舉法
時間複雜度：O(n^n)
如八皇后：8^8 = 16777216
進行暴力窮舉： n個for迴圈巢狀遍歷，找出所有合適的擺放方式，效率低下，不推薦！
2.遞迴和回溯法
時間複雜度： O(n!) =n*(n-2)(n-4)...
空間複雜度： O(n),儲存對角線是否被佔用以及列的資訊
- 約束程式設計概念：
在放置每個皇后以後會增加限制。當在棋盤上放置了一個皇后後，立即排除當前行，列和對應的兩個對角線。該過程傳遞了約束從而有助於減少需要考慮情況數。如下圖所示：
-
回溯演算法：
解決一個回溯問題，實際上就是一個決策樹的遍歷過程。
1、路徑：也就是已經做出的選擇。
2、選擇列表：也就是你當前可以做的選擇。
3、結束條件：也就是到達決策樹底層，無法再做選擇的條件。DFS(深度優先搜尋演算法) 也採用了回溯源節點方式直到遍歷完所有節點。
-
n皇后問題特點：
1.一行一列只能有一個皇后 （橫線，縱線攻擊）, 且每行、每列必須有一個皇后 （n*n 棋盤 要擺放n個皇后）
2.皇后佔據的每條斜線有規律，可據此判斷當前位置是否安全（主對角線和次對角線的規律 ）
擺放要求：任兩個皇后都不能處於同一條橫行、縱行或斜線上，問有多少種擺法
棋盤可用一個二維陣列表示
1.不能在同一行，每個皇后放置在一行後，保證下一個皇后在下一行擺放。
2.不能在同一列，用一維陣列記錄每列是否被皇后佔據，1:被佔用; 0: 未被佔用
3.如何確定是否在同一條斜線上？
有2種方式
-
方法一：主對角線和次對角線上的常數規律
相同主對角線上: row -col = 固定常數
而且每條對角線的常數值不同，因此用來標識該對角線是否已經被皇后佔用如下圖所示：第一條主對角線上，row= col , row =col = 0 ，由右上數第二條 為-1，-2 ... 直到-7。
注：
注： 如果在主對角線右上側， col> row , 因此 const是負數，如果用陣列下標索引儲存會導致越界異常，因此可加一個固定正整數（大於等於n）避免 （下見程式碼可理解）。
相同次對角線上：row+col = const,每條次對角線的值也不相同。從上到下對角線的值從0到14依次遞增
-
方法二：根據斜率確定在同一條斜線上
利用兩點之間斜率絕對值為 1，即夾角的正切值為1，夾角為 45度或者 135度，據此判斷是否在其他皇后的攻擊斜線上。
公式： |y2-y1| = |x2-x1|
斜率如圖所示：
在放置第三個皇后時，排除已有皇后佔據的列，再剩下位置中與已經放置皇后的座標計算斜率，如果斜率絕對值為1，即不是安全位置。
動態展示圖：
三、程式碼展示
方法一：官方解法，利用陣列記錄被佔據的列資訊，以及根據每條斜線被佔據記錄。
- 初始化操作
public void initQueen(int n) {
/**
* 一行一列只能有一個queen，記錄某列是否被佔用，int陣列記錄，陣列下標表示列；1表示佔用，0表示未被佔用
*/
int[] cols = new int[n];
/**主對角線特點： row -col = const, 對角線的個數是 2*n-1
* 因為考慮row-col為負數情況（右上三角），會發生越界異常，加一個固定常數n,所以這裡陣列長度也變為 3*n-1，
* 官方程式碼長度延長了2n, 即4*n-1。
*/
int[] zhuDiagonal = new int[3*n - 1];
/**
* 次對角線特點： row+col =const，次對角線不用延長陣列長度，對角線的條數即為 2*n-1
*/
int[] ciDiagonal = new int[ 2*n - 1];
// 呼叫遞迴回溯方法，下見
int count = back2Track(0, 0, n, cols, zhuDiagonal, ciDiagonal);
System.out.printf("共有%d 種方法排列",count);
}
- 判斷當前位置是否安全
public boolean isSafe(int row,int col,int n,int[] cols,int[] zhu, int[] ci) {
int res = cols[col] + zhu[row-col+ n] + ci[row+col];
return res ==0 ? true:false;
}
//如果當前位置列，主對角線，次對線均為0，表示當前位置安全，可以擺放皇后。
- 遞迴回溯
public int back2Track(int row,int count, int n ,int[] cols,int[] zhu, int[] ci) {
for(int col= 0; col< n; col++) {
if(isSafe(row,col,n,cols,zhu,ci)) {
/**
* 在安全位置,佔用
*/
//當前列,主對角線，列都佔用標誌：1
cols[col] =1;
zhu[row-col + n] =1;
ci[row +col] =1;
//遍歷到最後一行了，返回成功解一個
if(row +1 ==n ) {count ++;}
else {
//遍歷下一行，此時 row+1
count = back2Track(row+1,count,n,cols,zhu,ci);
}
//如果某行所有列都不安全，遞迴回退，將原來置為1的位置清除，繼續遍歷下一列
cols[col] = 0;
zhu[row-col+ n] =0;
ci[row+col] =0;
}
}
return count;
}
方法二
關鍵方法:
1.利用一維陣列表示二維空間的棋盤中皇后的位置
2.利用兩點之間斜率絕對值為 1，即夾角的正切值為1，夾角為 45度或者 135度，據此判斷是否在其他皇后的攻擊斜線上。
程式碼如下：
- 初始化
/**
* 表示n*n位棋盤,也表示n位皇后
*/
int n ;
/**
* 一維陣列儲存皇后位置,陣列下標代表行，陣列值代表列；例如： locations[0]= 0: 表示 第一行第一列有一位皇后
*/
int[] locations;
/**
* 記錄可排列種類有多少
*/
static int maxCount;
- 判斷是否安全
/**
* 判斷第k個皇后在第k行某列是否安全
*/
private boolean isSafe(int k) {
//與前n-1個皇后比較
for(int i = 0 ; i< k; i++) {
//這裡較難理解
//1, 因為locations中記錄前k-1行皇后的列擺放位置，陣列下標代表行，陣列值代表列
//如果locations[i] == locations[k],則表示這一列已經有皇后佔據了，衝突不安全
//2,Math.abs(k- i) == Math.abs(locations[k] - locations[i]) 利用的是|y2-y1| = |x2-x1| 公式，斜率為1，也不安全
if(locations[i] == locations[k] || Math.abs(k- i) == Math.abs(locations[k] - locations[i])) {
return false;
}
}
return true;
}
- 遞迴回溯方法
//k表示第k行，也表示第k個皇后，
private void check(int k) {
if(k ==n) {
print();
//成功計數器+1
maxCount ++;
return;
}
for (int i = 0; i<n; i++) {
//遍歷列，首先就將當前列設值，在判斷安全時會進行比較
locations[k] =i;
if(isSafe(k)) {
//如果安全，在遞迴k+1行
check(k+1);
}
}
}
- 列印每種解的皇后擺放
/**
* 列印皇后可行排列順序
*/
private void print() {
for (int col: locations) {
System.out.print(col + " ");
}
System.out.println();
}
一行代表一種擺放方式
輸出結果可以用遊戲驗證：8皇后遊戲：http://360.6822.com/www1.9/play_76277.html
方法三：利用位運算實現
計算機對位運算計算更快，這個方法實現很巧妙，對位運算會有更深的理解。
在看該方法前，先複習一下位運算的基本運算，後面會用上。
- 位運算的基本運算
1.按位與 & ： 有0則為0, 只有當兩位都是 1 時結果才是 1，否則為0。
2.按位或 | ： 有1則為1，即兩位中只要有 1 位為 1 結果就是 1，兩位都為 0 則結果為 0。
3. 取反 ~ ： 0 則變為 1，1 則變為 0。
4.左位移 << ：向左進行移位操作，高位丟棄，低位補 0
如 1<<3 1向左位移3位 000000001 --> 00001000 = 2^3 =8 (10)
5.右位移 >> ：向右進行移位操作，對無符號數，高位補 0，對於有符號數，高位補符號位
如 00001011 向右位移2位，00001011>>2 = 00000010, 左邊2位丟棄，高位補0
示例圖如下：
與運算
或運算
1.原碼：是最簡單的機器數表示法。用最高位表示符號位，‘1’表示負號，‘0’表示正號。其他位存放該數的二進位制的絕對值。
2.反碼：正數的反碼還是等於原碼，負數的反碼就是他的原碼除符號位外，按位取反。
3.補碼： 正數的補碼等於他的原碼，負數的補碼等於反碼+1。
注：正數的原碼，反碼，補碼相同，計算機中運算是以補碼的形式儲存計算的。
本次演算法相關：
- x & -x ： 該運算只保留x最右邊的第一個1 ，其餘置為0。
例如：x= 00110110, -x = 10110110 （負值是符號位取反，其他位不變）, x的補碼還是其原碼，-x的補碼是反碼+1
即 01001001 （反碼） +1 = 01001010，兩數按位與計算結果
00110110
01001010
=00000010 - x&(x-1): 該運算清除x最右邊的第一個1為0，其餘位值不變 。
可以證明：1，最低位為1，直接清0；2，最低位為0，中間某個位置為1，-1會向前借位，導致最右邊第一個1，被借位為0 .
提示： 該演算法遍歷是從低位開始，是從右到左的遍歷，上2個方法是從左到右的方式，這個方法巧妙在於之前的方法是用陣列儲存被佔用的位置，這個就是用3個int型別值，int 4個位元組，32位來替代陣列表示。
下面我們來看如何使用3個int型別的值 表示列，主對角線，次對角線佔用資訊的
int column // 位元位記錄列被佔用資訊,如下圖： 1001000表示 第1列和第4列被佔用
int pie //表示左斜線，即次對角線的佔用資訊， 0010000，傳遞到第3行時，表示第3行3列位置不安全。
int na // 表示右斜線，即主對角線的佔用資訊，00101000
利用位運算 或，即可求得下一行的所有被佔用的情況，運算結果如下圖：
10111000 ，三個變數進行或運算，求出 1，3，4，5位置會被攻擊，為0的位置是可以擺放皇后的
左斜線（pie）傳遞到下一行的約束推導,如下圖， pie 與 當前行放置皇后位置求並集，再向左位移1位，即傳遞到下一行的左斜線約束
，同理，右斜線（na）求並集向右位移1位
所以公式如下：
p: 代表該行皇后擺放的位置，如 00000001
-
確定下一行可以哪些位置可以擺放皇后： cloumn | p
-
獲取下一行左下斜被佔用的情況： (pie | p) << 1
-
獲取下一行右下斜被佔用的情況： (na | p) >> 1
-
清除該行擺放皇后的位置： bits = bits & (bits - 1)
程式碼如下：
int totalNQueens(int n) {
return backTrack(0,0,0,0,n);
}
//用於記錄一共有多少種方式
private int count;
public int backTrack(int row, int column, int pie, int na,int n) {
if(row == n) {
count++;
return count;
}
/**下一行的可擺放的位置，1:代表可以擺放；0:不可以
* (column | pie | na),表示該行可以擺放的位置，此時 0 代表可以擺放，~ 取反方便下一步操作，1代表可以擺放
* 但是int型別 32 位，取反高位為1了，不需要，因此 （1<<n -1）按位與，抹去高位為0，只留下需要的n個低位
* 這裡為什麼要取反，1表示可以擺放的位置了，是為了方便bits與0比較
*/
int bits = ~(column | pie | na) & ((1 << n) - 1);
/**
* 大於0，表示存在1,有可以擺放皇后的位置
*/
while (bits > 0) {
/**
* 1,取出該行最右邊的為1的那一位，表示可以擺放
* 涉及到計算機儲存的是補碼問題
*/
int p = bits & -bits;
backTrack(row + 1, column | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1, n);
/**
* 抹去最右邊為1的那位，將1變為0,繼續從右遍歷第二位為1的
*/
bits = bits & (bits - 1);
}
return count;
}